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题目

给你 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图1 个非负整数 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图2，每个数代表坐标中的一个点 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图3 。在坐标内画 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图4 条垂直线，垂直线 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图5 的两个端点分别为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图6和 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图7 。找出其中的两条线，使得它们与 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图8 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

说明：你不能倾斜容器。

示例 1：
[LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图9

输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7] 输出：49 解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。

示例 2：

输入：height = [1,1] 输出：1

示例 3：

输入：height = [4,3,2,1,4] 输出：16

示例 4：

输入：height = [1,2,1] 输出：2

解题思路：双指针

说明
本题是一道经典的面试题，最优的做法是使用「双指针」。如果读者第一次看到这题，不一定想的出双指针的做法。
分析
我们先从题目中的示例开始，一步一步地解释双指针算法的过程。稍后再给出算法正确性的证明。
题目中的示例为：

  1. [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]

在初始时，左右指针分别指向数组的左右两端，它们可以容纳的水量为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图10。
此时我们需要移动一个指针。移动哪一个呢？直觉告诉我们，应该移动对应数字较小的那个指针（即此时的左指针）。这是因为，由于容纳的水量是由：
两个指针指向的数字中较小值 ∗ 指针之间的距离
决定的。如果我们移动数字较大的那个指针，那么前者「两个指针指向的数字中较小值」不会增加，后者「指针之间的距离」会减小，那么这个乘积会减小。因此，我们移动数字较大的那个指针是不合理的。因此，我们移动 数字较小的那个指针。

有读者可能会产生疑问：我们可不可以同时移动两个指针？ 先别急，我们先假设 总是移动数字较小的那个指针 的思路是正确的，在走完流程之后，我们再去进行证明。

所以，我们将左指针向右移动：

[1，8，6，2，5，4，8，3，7]

此时可以容纳的水量为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图11 。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：

[1，8，6，2，5，4，8，3，7]

此时可以容纳的水量为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图12 。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：

[1，8，6，2，5，4，8，3，7]

此时可以容纳的水量为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图13 。数字相同，我们可以 任意移动 一个指针，例如左指针：

[1，8，6，2，5，4，8，3，7]

此时可以容纳的水量为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图14 。由于左指针对应的数字较小，我们移动左指针，并且可以发现，在这之后左指针对应的数字总是较小，因此我们会一直移动左指针，直到两个指针 重合 。在这期间，对应的可以容纳的水量为： [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图15 ， [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图16， [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图17
🚩在我们移动指针的过程中，计算到的最多可以容纳的数量为 49，即为最终的答案。
[LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图18
证明
为什么双指针的做法是正确的？

双指针代表了什么？

双指针代表的是 可以作为容器边界的所有位置的范围。在一开始，双指针指向数组的左右边界，表示 数组中所有的位置都可以作为容器的边界，因为我们还没有进行过任何尝试。在这之后，我们每次将 对应的数字较小的那个指针 往 另一个指针 的方向移动一个位置，就表示我们认为 这个指针不可能再作为容器的边界了。

为什么对应的数字较小的那个指针不可能再作为容器的边界了？

在上面的分析部分，我们对这个问题有了一点初步的想法。这里我们定量地进行证明。
考虑第一步，假设当前左指针和右指针指向的数分别为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图19 和 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图20，不失一般性，我们假设 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图21。同时，两个指针之间的距离为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图22 。那么，它们组成的容器的容量为：
[LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图23
我们可以断定，如果我们保持左指针的位置不变，那么无论右指针在哪里，这个容器的容量都不会超过 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图24了。注意这里右指针只能向左移动，因为 我们考虑的是第一步，也就是 指针还指向数组的左右边界的时候。注意这里右指针只能向左移动，因为 我们考虑的是第一步，也就是 指针还指向数组的左右边界的时候。

我们任意向左移动右指针，指向的数为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图25，两个指针之间的距离为 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图26，那么显然有 [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图27，并且
[LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图28

  1.   - 如果 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/dd3e0ac80f83fa072941cb1edadbfea2.svg#card=math&code=%5Csmall%20y_1%20%5Cleq%20y&id=OdCEa)，那么 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/35771708eab2995eafa221bf91238aa9.svg#card=math&code=%5Csmall%20%5Cmin%28x%2C%20y_1%29%20%5Cleq%20%5Cmin%28x%2C%20y%29&id=ngKSD)
  2.   - 如果 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/2f4856ebc3cb5937eadf6d208850984d.svg#card=math&code=%5Csmall%20y_1%20%3E%20y&id=OsEwW)，那么 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/defdcd39595ddb0158f10441bb2025c7.svg#card=math&code=%5Csmall%20%5Cmin%28x%2C%20y_1%29%20%3D%20x%20%3D%20%5Cmin%28x%2C%20y%29&id=aLLTM)

因此有：
[LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图29

即无论我们怎么移动右指针，得到的容器的容量都小于移动前容器的容量。也就是说，这个左指针对应的数不会作为容器的边界了，那么我们就可以丢弃这个位置，将左指针向右移动一个位置，此时新的左指针于原先的右指针之间的左右位置，才可能会作为容器的边界。

这样以来，我们将问题的规模减小了 **1**，被我们丢弃的那个位置就相当于消失了。此时的左右指针，就指向了一个新的、规模减少了的问题的数组的左右边界，因此，我们可以继续像之前 考虑第一步 那样考虑这个问题：

  • 求出当前双指针对应的容器的容量；
  • 对应数字较小的那个指针以后不可能作为容器的边界了，将其丢弃，并移动对应的指针。

    最后的答案是什么？

答案就是我们每次以双指针为左右边界（也就是「数组」的左右边界）计算出的容量中的最大值。

复杂度分析

时间复杂度： [LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图30 ，双指针总计最多遍历整个数组一次。

空间复杂度：[LeetCode]11. 盛最多水的容器 - 图31 ，只需要额外的常数级别的空间。

我的代码

  1. public class Solution {
  2.     public int maxArea(int[] height) {
  3.         int l = 0, r = height.length - 1;
  4.         int ans = 0;
  5.         while (l < r) {
  6.             int area = Math.min(height[l], height[r]) * (r - l);
  7.             ans = Math.max(ans, area);
  8.             if (height[l] <= height[r]) {
  9.                 ++l;
  10.             }
  11.             else {
  12.                 --r;
  13.             }
  14.         }
  15.         return ans;
  16.     }
  17. }