Dilworth 定理

定义：在数学理论中的序理论与组合数学中，Dilworth定理根据序列划分的最小数量的链描述了任何有限偏序集的宽度。其名称取自数学家Robert P. Dilworth。

定理内容：
反链是一种偏序集，其任意两个元素不可比；而链则是一种任意两个元素可比的偏序集。Dilworth定理说明，存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分，使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况时，对任何至多能包含来自P中每一个成员一个元素的反链，A一定是此序列中的最大反链。同样地，对于任何最少包含A中的每一个元素的一个链的划分，P也一定是序列可以划分出的最小链族。偏序集的宽度被定义为A与P的共同大小。

另一种 Dilworth 定理的等价表述是：在有穷偏序集中，任何反链最大元素数目等于任何将集合到链的划分中链的最小数目。一个关于无限偏序集的理论指出，在此种情况下，一个偏序集具有有限的宽度w，当且仅当它可以划分为最少w条链。

偏序集的两个定理：

• 定理1) 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。
• 定理2) 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。

即：链的最少划分数 = 反链的最长长度

例：1 7 8 2 3 4
反链：最长不上升子序列（如：（7，2））长度 = 2；
即：按升序划分，最少的链划分数为2，为（1，2，3，4）和（7，8）。

Dilworth定理：把一个数列划分成最少的最长不升子序列的数目就等于这个数列的最长上升子序列的长度。