[NC]108. 最大正方形

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题目

在一个由 '0' 和 '1'组成的二维矩阵内，找到只包含 '1'的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

输入：matrix = [[“1”,”0”,”1”,”0”,”0”], [“1”,”0”,”1”,”1”,”1”], [“1”,”1”,”1”,”1”,”1”], [“1”,”0”,”0”,”1”,”0”]] 输出：4

解题思路：动态规划

👉 定义： 表示以 为右下角，且只包含 的正方形的边长最大值。

如果我们能计算出所有 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算 中的每个元素值呢？对于每个位置 ，检查在矩阵中该位置的值：

• 如果该位置的值是 ，则 ，因为当前位置不可能在由 组成的正方形中；

• 如果该位置的值是 ，则 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 值决定。

状态转移方程：具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加

此外，还需要考虑边界条件。如果 和 中至少有一个为 ，则以位置 为右下角的最大正方形的边长只能是 ，因此 。

以下用一个例子具体说明。原始矩阵如下。

0 1 1 1 0
1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1

对应的 值如下。

0 1 1 1 0
1 1 2 2 0
0 1 2 3 1
0 1 2 3 2
0 0 1 2 3

下图也给出了计算 值的过程。

复杂度分析

时间复杂度：，其中 和 是矩阵的行数和列数，需要遍历原始矩阵中的每个元素计算 的值。

空间复杂度：，其中 和 是矩阵的行数和列数 。

  - 创建了一个和原始矩阵大小相同的矩阵 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/32ed5e9e580d123173ac55ad90458209.svg#card=math&code=dp&id=S47gf)。由于状态转移方程中的 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/7cc22f166a48346fa068c82b59d72be5.svg#card=math&code=dp%5Bi%5D%5Bj%5D&id=KmG6s)由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/32ed5e9e580d123173ac55ad90458209.svg#card=math&code=dp&id=GSFJR)值决定，因此可以使用两个一维数组进行状态转移，空间复杂度优化至 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/e65a67ac353abeeff44c359310d05c02.svg#card=math&code=O%28n%29&id=V9ciE)。

官方代码

class Solution {
    public int maximalSquare(char[][] matrix) {
        int maxSide = 0;
        if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            return maxSide;
        }
        int rows = matrix.length, columns = matrix[0].length;
        int[][] dp = new int[rows][columns];
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            for (int j = 0; j < columns; j++) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    if (i == 0 || j == 0) {
                        dp[i][j] = 1;
                    } else {
                        dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                    }
                    maxSide = Math.max(maxSide, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        int maxSquare = maxSide * maxSide;
        return maxSquare;
    }
}