[NC]310. 有多少个不同的二叉搜索树

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题目

给定一个整数 ，求以 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3 输出: 5 解释: 给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3

解题思路：动态规划

给定一个有序序列 ，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字 ，将该数字作为树根，将 序列作为左子树，将 序列作为右子树 。

在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。

定义两个函数：

     1. ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/a417655e890e7887367fc17c4fd83bbf.svg#card=math&code=G%28n%29&height=20&id=WigoA)   ： 长度为 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.svg#card=math&code=n&height=12&id=jNgDw) 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
     1. ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/61a7cec63f696b708f2491bc0b05d228.svg#card=math&code=F%28i%2C%20n%29&height=20&id=PTFqG)： 以 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg#card=math&code=i&height=16&id=yxyl4) 为根、序列长度为 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.svg#card=math&code=n%0A&height=12&id=buHGa) 的不同二叉搜索树个数 ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/98780f165bf2219abe267821863e2201.svg#card=math&code=%EF%BC%88i%5Cleq%20i%20%5Cleq%20n%EF%BC%89&height=24&id=xlFR0)。

可见，G(n) 是我们求解需要的函数。G(n) 可以从 F(i, n) 得到，而 F(i, n) 又会递归地依赖于G(n)

根据上述的思路，不同的二叉搜索树的总数 G(n)，是对遍历所有 的 F(i, n) 之和。

对于边界情况，当序列长度为 1（只有根）或为 0（空树）时，只有一种情况，即：

给定序列 ，我们选择数字 作为根，则根为 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树，如下图所示：

举例说明：

创建以 3 为根、长度为 7 的不同二叉搜索树，整个序列是 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，我们需要从左子序列 [1, 2] 构建左子树，从右子序列 [4, 5, 6, 7] 构建右子树，然后将它们组合（即笛卡尔积）。

我们将 [1,2] 构建不同左子树的数量表示为 G(2)，将[4, 5, 6, 7] 构建不同右子树的数量表示为G(4)
注意到 G(n) 和序列的内容无关，只和序列的长度有关。 ， 因此，可以得到
公式：

将公式 (1)，公式(2) 结合，可以得到 G(n) 的递归表达式：

                      ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/7556dbd5226e15960db0b470495a2a32.svg#card=math&code=%5Ctextbf%7BG%28n%29%3D%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Ctextbf%7BG%28i-1%29%7D%5Ccdot%20%5Ctextbf%7B%20%20G%28n-i%29%7D%0A&height=49&id=BvXCe)

至此，我们从小到大计算 G函数 即可，因为 G(n) 的值依赖于 。

官方代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}

解题思路：组合数学

事实上我们在方法一中推导出的 G(n) 函数的值在数学上被称为卡塔兰数 C_n 。卡塔兰数更便于计算的定义如下:

官方代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        // 提示：我们在这里需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}