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题目描述

让小朋友们围成一个大圈。然后，随机指定一个数 m，让编号为 0 的小朋友开始报数。每次喊到 m-1 的那个小朋友要出列唱首歌，然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物，并且不再回到圈中，从他的下一个小朋友开始，继续 0…m-1 报数 …. 这样下去 …. 直到剩下最后一个小朋友，可以不用表演。

解题思路

方法一：模拟

最开始长度为n，每次删除一个数，长度变为n-1，如果用数组模拟操作的话，删除一个数据，涉及大量的数据搬移操作，所以我们可以使用链表来模拟操作。
代码如下：

// list
class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1)
            return -1;
        list<int> lt;
        for(int i=0;i<n;i++)
            lt.push_back(i);
        int index=0;
        while(n>1){
            index = (index+m-1)%n; //找出下一个学生
            auto it = lt.begin();
            std:advance(it, index); // it向后移动index个位置，移动到需要删除的元素处
            lt.erase(it);
            --n;
        }
        return lt.back();
    }
};
// vector
class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1)
            return -1;
        vector<int> v(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            v[i]=i;
        int index = 0;
        while(n>1){
            index = (index + m - 1)%n;
            auto it = v.begin();
            v.erase(it+index);
            --n;
        }
        return v.front();
    }
};

时间复杂度：O(N^2), 每次删除一个节点，需要先找到那个节点，然后再删除，查找的时间复杂度为O(N)
空间复杂度：O(N)
方法二：递归(第n-1次从0开始数，转换成从x开始数)
解释：f(n,m)表示删除n个后最后一个删除的下标，我们需要先删除一个，然后再删除n-1个，我们根据f(n-1,m)可以知道如果有n-1个，并且一开始从0号开始删除。最后一个删除的下标为f(n-1,m)，所以一我们f(n,m)先删除第一个，下标为m%n，再删除n-1个，因为删除n-1个需要下标为m%n开始，所以f(n,m) = (m%n + f(n-1,m))

假设f(n, m) 表示最终留下元素的序号。比如上例子中表示为:f(5,3) = 3

首先，长度为 n 的序列会先删除第 m % n 个元素，然后剩下一个长度为 n - 1 的序列。那么，我们可以递归地求解 f(n - 1, m)，就可以知道对于剩下的 n - 1 个元素，最终会留下第几个元素，我们设答案为 x = f(n - 1, m)。

由于我们删除了第 m % n 个元素，将序列的长度变为 n - 1。当我们知道了 f(n - 1, m) 对应的答案 x 之后，我们也就可以知道，长度为 n 的序列最后一个删除的元素，应当是从 m % n 开始数的第 x 个元素。因此有 f(n, m) = (m % n + x) % n = (m + x) % n。

当n等于1时，f(1,m) = 0
代码为：

class Solution {
public:
    int f(int n,int m){
        if(n==1)
            return 0;
        int x = f(n-1,m);
        return (x+m)%n;
    }
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1)
            return -1;
        return f(n,m);
    }
};

时间复杂度: O(N)
空间复杂度: O(N)
方法三：迭代法
根据方法二可知，
f[1] = 0
f[2] = (f{1] + m) % 2
f[3] = (f[2] + m) % 3
…
f[n] = (f[n-1] + m) % n

一个人的时候: 这个活着的人的下标是0. 所以需要知道当两个人存在的时候,这个人的下标是多少;
两个人的时候: 这个活着的人下标:(0+3)%2=1 所以需要知道当三个人存在的时候 ,这个人的下标是多少;
三个人的时候: 这个活着的人下标:(1+3)%3=1 所以需要知道当四个人存在的时候 ,这个人的下标是多少;
主要是公式f(n,m)=(x+m)%n 的理解,这个x到底指的是什么; 指的是在下一轮报数,那个活着人的下标:我们唯一知道的是最终活着的人的下标是0
f(n,m)=( f(n-1,m)+m)%n 是第一轮报数,这个活着人的下标; 但是需要知道这个人在第二轮的下标 f(n-1,m),才能推出第一轮报数的下标
f(n-1,m)=(f(n-2,m)+m)%n 是第二轮报数, 这个活着人的下标;
………………………………………………………………………………..
最后一轮报数 f(2,m)=(f(1,m)+m)%n=(0+m)%n

所以代码如下：

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if (n <= 0) return -1; 
        int index = 0;
        for (int i=2; i<=n; ++i) {
            index = (index + m) % i;
        }
        return index;
    }
};

时间复杂度: O(N)
空间复杂度: O(1)

算法(leetcode 牛客网)

62. 圆圈中最后剩下的数**

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解题思路

方法一：模拟

方法二：递归(第n-1次从0开始数，转换成从x开始数)

方法三：迭代法