68.1 二叉查找树

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给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]
68. 树中两个节点的最低公共祖先 - 图1
示例 1:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6 
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

示例 2:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
输出: 2
解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

所有节点的值都是唯一的。
p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。
解题思路
根据以上定义，若 root 是 p,q 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：

p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的异侧（即分别在左、右子树中）；
p=root，且 q 在 root 的左或右子树中；
q=root，且 p 在 root 的左或右子树中；

本题给定了两个重要条件：① 树为二叉搜索树，② 树的所有节点的值都是唯一的。根据以上条件，可方便地判断 p,q 与 root 的子树关系，即：

若 root.val<p.val ，则 p 在 root 右子树中；
若 root.val>p.val ，则 p 在 root 左子树中；
若 root.val=p.val ，则 p 和 root 指向同一节点。

方法一：迭代
循环搜索： 当节点 root 为空时跳出；
1. 当 p, q 都在 root 的 右子树 中，则遍历至 root.right；
2. 否则，当 p, q 都在 root 的 左子树 中，则遍历至 root.left；
3. 否则，说明找到了 最近公共祖先 ，跳出。
返回值： 最近公共祖先 root 。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(p==NULL||q==NULL||root==NULL)
            return NULL;
        while(root){
            if(root->val<p->val&&root->val<q->val)// p,q 都在 root 的右子树中
                root = root->right;// 遍历至右子节点
            else if(root->val>p->val&&root->val>q->val)// p,q 都在 root 的左子树中
                root = root->left;// 遍历至左子节点
            else//p,q中有一个等于当前根结点
                return root;
        }
        return root;
    }
};

时间复杂度 O(N) ： 其中 N 为二叉树节点数；每循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 logN （满二叉树），最大为 N （退化为链表）。
空间复杂度 O(1) ： 使用常数大小的额外空间。

方法二：递归

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root==NULL||p==NULL||q==NULL)
            return NULL;
        if(root->val<p->val&&root->val<q->val)// p,q 都在 root 的右子树中
            return lowestCommonAncestor(root->right,p,q);// 遍历至左子节点
        else if(root->val>p->val&&root->val>q->val)// p,q 都在 root 的左子树中
            return lowestCommonAncestor(root->left,p,q);// 遍历至左子节点
        else//p,q中有一个等于当前根结点
            return root;
    }
};

时间复杂度 O(N) ： 其中 N 为二叉树节点数；每循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 logN （满二叉树），最大为 N （退化为链表）。
空间复杂度 O(N) ： 最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到树的层数 N 。
68.2 普通二叉树
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LeetCode
题目描述
给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
例如，给定如下二叉树: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]

68. 树中两个节点的最低公共祖先 - 图2
示例 1:

输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出: 3
解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例 2:

输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出: 5
解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

解题思路

根据以上定义，若 rootroot 是 p,q 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：

p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的异侧（即分别在左、右子树中）；
p=root，且 q 在 root 的左或右子树中；
q=root，且 p 在 root 的左或右子树中；

考虑通过递归对二叉树进行后序遍历，当遇到节点 p 或 q 时返回。从底至顶回溯，当节点 p, q 在节点 root 的异侧时，节点 root 即为最近公共祖先，则向上返回 root 。

递归解析：

终止条件：
1. 当越过叶节点，则直接返回 null ；
2. 当 root 等于 p, q 则直接返回 root ；
递推工作：
1. 开启递归左子节点，返回值记为 left ；
2. 开启递归右子节点，返回值记为 right ；
返回值： 根据 left 和 right ，可展开为四种情况
1. 当 left 和 right 同时为空 ：说明 root 的左 / 右子树中都不包含 p,q ，返回 null ；
2. 当 left 和 right 同时不为空 ：说明 p, q 分列在 root 的异侧（分别在左 / 右子树），因此 root 为最近公共祖先，返回 root ；
3. 当 left 为空，right 不为空：p,q 都不在 root 的左子树中，直接返回 right 。具体可分为两种情况：
  1. p,q 其中一个在 root 的右子树中，此时 right 指向 p（假设为 p ）；
  2. p,q 两节点都在 root 的右子树中，此时的 right 指向 最近公共祖先节点 ；
4. 当 left 不为空 ， right 为空：与情况 c. 同理；

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root==NULL||root->val==p->val||root->val==q->val)
            return root;
        TreeNode*left = lowestCommonAncestor(root->left,p,q);
        TreeNode*right =lowestCommonAncestor(root->right,p,q);
        if(left==NULL&&right==NULL)
            return NULL;//当 left 和 right 同时为空 ：说明 root 的左 / 右子树中都不包含 p,q ，返回 null ；
        if(left==NULL)
            return right;
        if(right==NULL)
            return left;
        return root; //当 left 和 right 同时不为空 ：说明 p, q 分列在 root 的 异侧 （分别在 左 / 右子树），
                     //因此 root 为最近公共祖先，返回 root ；
    }
};

时间复杂度 O(N) ： 其中 N 为二叉树节点数；最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。
空间复杂度 O(N) ： 最差情况下，递归深度达到 N ，系统使用 O(N) 大小的额外空间。

68. 树中两个节点的最低公共祖先

68.1 二叉查找树

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题目描述

解题思路

方法一：迭代

方法二：递归

68.2 普通二叉树

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题目描述

解题思路

递归解析：