题目

题目来源：力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。


示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1

思路分析

动态规划

在 322. 零钱兑换 中，我们求的是「取得特定价值所需要的最小物品个数」。
对于本题，我们求的是「取得特定价值的方案数量」。
求的东西不一样，但问题的本质没有发生改变，同样属于「组合优化」问题。
你可以这样来理解什么是组合优化问题：
被选物品之间不需要满足特定关系，只需要选择物品，以达到「全局最优」或者「特定状态」即可。
同时硬币相当于我们的物品，每种硬币可以选择「无限次」，很自然的想到「完全背包」。

1、状态定义
dp[j]：表示凑成总金额为 j 的硬币组合数

2、确定递推公式
当总金额为 j 时，对于面额为 coins[i] 的硬币，当 coins[i] ≦ j ≦ amount 时，如果存在一种硬币组合的金额之和 等于 j - coins[i]，那么在该硬币组合中增加当前面额为 coins[i] 的硬币，即可得到一种金额之和等于 j 的硬币组合。因此需要遍历 coins，对于其中的每一种面额的硬币将 dp[j - coins[i]] 的值加到 dp[j] 。

因此，dp[j] (考虑coins[i]的组合总和) 就是所有的dp[j - coins[i]] (不考虑coins[i])相加。

所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]

3、状态初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。
从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的硬币组合数为1。
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j] 。

4、确定遍历顺序
外层for循环遍历物品（硬币），内层for遍历背包（金钱总额），在计算 dp[j] 的值时，可以确保金额之和等于 j 的硬币面额的顺序，由于顺序确定，因此不会重复计算不同的排列。

例如，coins=[1,2 ]，对于 dp[3] 的计算，一定是先遍历硬币面额 1 后遍历硬币面额 2，只会出现以下 2 种组合：
3 = 1 + 1 + 1
3 = 1 + 2

硬币面额 2 不可能出现在硬币面额 1 之前，即不会重复计算 3 = 2 + 1 的情况。

代码实现

  1. /**
  2.  * @param {number} amount
  3.  * @param {number[]} coins
  4.  * @return {number}
  5.  */
  6. var change = function (amount, coins) {
  7.   const dp = new Array(amount + 1).fill(0);
  8.   // dp[0] = 1 凑成总金额0的货币组合数为1
  9.   dp[0] = 1;
  10.   // 外层for循环遍历物品（硬币），内层for遍历背包（金钱总额），
  11.   // 在计算 dp[j] 的值时，可以确保金额之和等于 j 的硬币面额的顺序
  12.   // 可避免重复计算不同的排列
  13.   for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
  14.     for (let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
  15.       // dp[j] (考虑coins[i]的组合总和) 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加
  16.       dp[j] += dp[j - coins[i]];
  17.     }
  18.   }
  19.   return dp[amount];
  20. };

参考阅读 https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/solution/ling-qian-dui-huan-ii-by-leetcode-soluti-f7uh/ https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/solution/dai-ma-sui-xiang-lu-518-ling-qian-dui-hu-q7gm/ https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/solution/yi-tao-kuang-jia-jie-jue-bei-bao-wen-ti-6kaze/