零钱兑换

题目

题目来源：力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

示例 4：

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

示例 5：

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

思路分析

对于这道题，以示例1 coins = [1, 2, 5], amount = 11 为例：

凑足总额为 11 的最少硬币数，可以考虑组合中的最后一个硬币分别是1，2，5的情况，比如

• 最后一个硬币是1的话，最少硬币数应该为【组成10的最少硬币数】+ 1枚（1块硬币）
• 最后一个硬币是2的话，最少硬币数应该为【组成9的最少硬币数】+ 1枚（2块硬币）
• 最后一个硬币是5的话，最少硬币数应该为【组成6的最少硬币数】+ 1枚（5块硬币）

那么凑足总额为 11 的最少硬币数为：dp[11] = min (dp[10] + 1, dp[9] + 1, dp[6] + 1)

把上面的分析转换成状态：

1、状态定义

dp[j]：凑足总额为 j 所需的最少硬币数为 dp[j]

2、确定递推公式

要得到 dp[j] (包含了面值 coins[i])，只有一个来源，那就是 dp[j - coins[i]] (没有包含 coins[i] 这个面值)；

凑足总额为 j - coins[i] 的最少硬币数为 dp[j -coins[i]]，那么只需要再加上一个面值为 coins[i] 的硬币，即 dp[j - coins[i]] + 1 即可得到 dp[j]，即 dp[j] = dp[j - coins[i]] + 1

dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最少的，因此可得递推公式为：
**dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])**

3、状态初始化

首先凑足总金额为 0 所需硬币的个数一定是 0，那么 dp[0] = 0;

那么其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp[j] 必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都应该是最大值。

dp 初始化代码：

let dp = new Array(amount + 1).fill(Number.MAX_VALUE);
dp[0] = 0;

4、确定遍历顺序

本题求硬币最小个数，那么硬币有顺序和没有顺序都可以，都不影响硬币的最小个数。

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！

那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

代码实现：

/**
 * @param {number[]} coins
 * @param {number} amount
 * @return {number}
 */
var coinChange = function (coins, amount) {
  // dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖
  let dp = new Array(amount + 1).fill(Number.MAX_VALUE);
  // 凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，初始化 dp[0] = 0
  dp[0] = 0;
  for (let i = 0; i < coins.length; i++) { // 遍历物品
    for (let j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
      if (dp[j - coins[i]] != Number.MAX_VALUE) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
        dp[j] = Math.min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
      }
    }
  }
  if (dp[amount] == Number.MAX_VALUE) return -1;
  return dp[amount];
};