题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

进阶：你能将算法的时间复杂度降低到 O(nlogn) 吗?

解题方法

动态规划

设定动态数组dp[i]表示以i为结尾的最长严格上升子序列长度，则有如下递推关系：

初始化动态数组为1。
时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)
C++代码：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 1);
        int result = 1;
        for(int i=1; i<n; i++) {
            for(int j=i-1; j>=0; j--) {
                if(nums[i]>nums[j]) dp[i]  = dp[i] > dp[j]+1 ? dp[i] : dp[j]+1;
            }
            result = result > dp[i] ? result : dp[i];
        }
        return result;
    }
};

贪心+二分查找

贪心策略：当前数字跟在之前的数字中小于当前数字的最大值后面（缓慢上升）。
使用数组dp[i]记录长度i对应的结尾数字，dp数组单调上升。
使用len记录当前最大长度。
遍历数组更新dp数组及最大长度len，具体如下：

• 当dp[len]<nums[i]时，len++并dp[len]=nums[i]。
• 反之，通过二分法查找下标pos使得dp[pos-1] < nums[i] ≤ dp[pos]，随后使dp[pos]更新为nums[i]。

时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(n)。
C++代码：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n+1, INT_MIN);
        int len = 0;
        for(int i=0; i<n; i++) {
            if(nums[i]>dp[len])     dp[++len] = nums[i];
            else {
                int l = 1;
                int r = len;
                int pos = len;
                while(r>=l) {
                    int mid = (l+r)/2;
                    if(dp[mid]>=nums[i]) {
                        r = mid-1;
                        pos = mid;
                    } 
                    else    l = mid+1;   
                }
                dp[pos] = nums[i];
            }
        }
        return len;
    }
};