题目

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

  解题方法

  动态规划

  本体求解能够构成amount的组合数（不注重排列顺序），因此可以转化为 完全背包 问题。设定动态数组dp[j]表示凑成总额j的最大组合数。则有如下递推关系
  
  其中初始化时需要注意dp[0] = 1。
  在遍历顺序方面，由于组合数不注重排列顺序，即不同排列顺序只算一种情况，因此外循环为硬币面额，保证面额的遍历顺序。如果需要求解排列数的话则外循环需要为背包数。
  时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(n)
  C++代码：

  class Solution {
  public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount+1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i=0; i<coins.size(); i++) {
            for(int j=coins[i]; j<=amount; j++) {
                dp[j] += dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
  };