题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100

• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

  解题方法

  动态规划（二维动态数组）

  构建二维动态数组dp[x][y]表示到达位置(x, y)的路线总数，则有如下递推关系：
  
  时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(mn)。
  C++代码：

  class Solution {
  public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int board[m][n];
        board[0][0] = 1;
        for(int i=1; i<m*n; i++) {
            int x = i / n;
            int y = i % n;
            if(x==0)    board[x][y] = board[x][y-1];
            else if(y==0)    board[x][y] = board[x-1][y];
            else board[x][y] = board[x][y-1] + board[x-1][y];
        }
        return board[m-1][n-1];
    }
  };

  动态规划（一维数组优化）

  由于本题中只能向右或向下移动，导致第一行和第一列都为1，因此可以仅采用一维数组进行递推，选取较小边构建一维数组，假设m <= n，则递推关系如下：
  
  dp数组的初始值为1。
  时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(min(m, n))
  C++代码：

  class Solution {
  public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m>n) return uniquePaths(n, m);
        int board[m];
        for(int i=0; i<m; i++) board[i] = 1;
        for(int i=1; i<n; i++) {
            for(int j=1; j<m; j++) {
                board[j] += board[j-1];
            }
        }
        return board[m-1];
    }
  };

  组合数学

  从左上角移动到右下角，一次向右或向下移动一格，则一共需要m+n-2次移动，其中m-1次为向下移动，故答案为
  
  时间复杂度O(min(m, n))，空间复杂度O(1)
  C++代码：

  class Solution {
  public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m>n) return uniquePaths(n, m);
        long long result = 1;
        for(int i=n, j=1; j<m; i++, j++) result = result * i / j;
        return result;
    }
  };