正交多项式及其性质

权函数

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函数内积

  • 类比离散函数内积

【数值分析】曲线拟合的最佳平方逼近 - 图2

  • 得到连续函数内积

【数值分析】曲线拟合的最佳平方逼近 - 图3

  • 此时的ρ(x)对应的为范围内每一点的权值
  • 类比向量同样具备性质：

【数值分析】曲线拟合的最佳平方逼近 - 图4

  • 同样，函数内积也存在范数

【数值分析】曲线拟合的最佳平方逼近 - 图5

  • 如果【数值分析】曲线拟合的最佳平方逼近 - 图6就说明f和g很像

    正交性

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  • “首1”多项式序列：

【数值分析】曲线拟合的最佳平方逼近 - 图9

  • 递推公式

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  • 存在定理

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  • 为满足正交函数族，即他们之间线性无关，存在充分必要条件

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Legendre多项式

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  • 此处虽然限制了区间[-1,1]，实际上可以映射到任意区间，通过y=kx+b映射到[m,n]。(待定系数)
  • 具备正交性

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  • 递推公式

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  • 对称性

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Chebyshev多项式

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  • 正交性

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  • 递推公式

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  • 对称性

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第二类Chebyshev多项式

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  • 正交性

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  • 递推公式

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Laguerre多项式

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  • 正交性

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  • 递推公式

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Hermite多项式

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  • 正交性

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  • 递推公式

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函数的最佳平方逼近

逼近函数

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  • 即从空间中任取一个都可以用基线性表示

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  • 范数是判断逼近像与不像的标准之一

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  • 可以证明，对任意的φ(x)∈Φ有

【数值分析】曲线拟合的最佳平方逼近 - 图41

平方误差

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举个特例

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  • 存在问题

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  • 例题

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正交函数族平方逼近

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举个特例

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存在定理

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  • 例题

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