5.5 非马尔可夫排队模型

非马尔可夫排队模型指的仅用当前状态变量或变量组（例如，任意时刻的队列长度）无法完全描述的排队系统。
由于排队系统的随机特性主要来源于顾客的到达和所需的服务时间，因此，如果顾客的到达或服务时间中的任意一个不再具有无记忆性，则该排队系统即为非马尔可夫排队系统。

5.5.1 M/G/1排队模型
M/G/1排队模型，满足参数为 λ 的泊松流输入条件，服务时间 τ 服从一般分布，且存在数学期望E[τ]和方差D[τ]。为了满足系统稳定，仍然要求满足服务强度ρ<1，且有

对于非马尔可夫排队模型的分析不能再使用生灭过程来处理，而要使用下面的公式：

公式就是著名的布拉切克-辛钦（PollaczekKhintchine）公式，简称P-K公式
P-K公式是美国数学家布拉切克和前苏联数学家辛钦联合提出的，它使得分析排队系统的主要性能指标变得非常简单。
只要知道服务时间 τ 的数学期望和方差，就可以根据P-K公式计算出平均队长Ls，然后根据Little定理计算出平均等待队长Lq、平均逗留时间Ws和平均等待时间Wq
例题

5.5.2 M/D/1排队模型

M/D/1排队模型满足参数为 λ 的泊松流输入条件，服务时间是确定的常数，因此有

例题

5.5.3 M/Ek/1排队模型

M/Ek/1排队模型满足参数为λ的泊松流输入条件，但顾客必须经过k个服务窗口，每个服务窗口的服务时间μ相互独立，并且服从相同kμ的负指数分布，那么顾客经过服务时间服从k阶爱尔兰分布。且有

M/Ek/1排队模型主要性能指标为：

例题

5.6 话务量分析

5.6.1 话务量分析概述

话务量分析（Traffic Analysis），或叫通信业务量分析，是用数学建模的方法对通信网中的线路、设备、系统容量进行预测与分析，进而为通信网的建设或改造提供一个全面概述。
话务量分析是网络资源分配的重要手段。通过对话务量的估算，网络运营商可以在网络中不同的交换机与通信连路间，对话务量的分布实现精确地控制从而使业务负荷达到平衡，也使得所有的网络设备和链路不至于产生过载现象，保证了网络中资源的有效利用
以固定电话网为例，电话线路存在如图所示的两种周而复始的状态：空闲（Idle）状态和占线（Busy）状态

然而在现实情况中，却总是存在例外情况。比如顾客在发起一次呼叫时，除了直接完成本次呼叫情况外，还会存在以下四种情况
- 呼叫失败放弃。所有的线路都占线，顾客听到忙线音后挂断电话。
- 呼叫失败重拨。所有的线路都占线，顾客听到忙线音后挂断电话并选择稍后重拨。
- 持续等待。所有的线路都占线，顾客在系统中坚持等待，直到有其他人结束通话线路释出后接通。例如电话客服系统。
- 选择等待。顾客会在排队中由于失去耐心而放弃等待，挂断电话后以一定的概率选择重拨。
基于这四种结果，为了合理描述各种流量模型的适用情形，话务量分析将话务流量模型总结为如下所示的情形。

5.6.2 爱尔兰B公式
爱尔兰B公式也叫爱尔兰第一公式。是最常见的话务量分析预测公式
它适用于损失制系统，其数学模型是M/M/m/m排队模型。
爱尔兰B公式用于求解顾客进入系统时发生阻塞而离开的概率。令公式中k=m就可以得到爱尔兰B公式：

其中表示话务量强度，单位是爱尔兰（Erlang 或Erl），m表示为服务窗口的数量，也就是电话交换机的出线容量。而表示呼损概率或阻塞概率（简称呼损）。通常也用 P(a,m) 来表示，其含义就是说明呼损概率是由电话系统的话务量强度和电话交换机的出线容量共同决定的。

例题

5.6.3 爱尔兰C公式

爱尔兰C公式也叫爱尔兰第二公式。也是一种常用的话务量分析预测公式。
与爱尔兰B公式不同之处在于，爱尔兰C公式适用于顾客在呼叫发生阻塞时排队等候直到接受服务的等待制系统。
爱尔兰C公式的数学模型是M/M/m排队模型。它可以用来求解顾客进入系统时发生排队情况的阻塞概率。对于电话系统来说，当用户数量大于电话线路时将发生阻塞或等待，这种阻塞概率就是呼损概率，有时也称等待概率，即

根据公式可知，

其中，a为话务量。根据公式，当k=m时有

这样，就可以得到爱尔兰C公式为：

由于计算呼损概率比较复杂，实际工程中通常采用查表的方法。

在使用爱尔兰C公式的时候需要注意，该计算公式有些部分是和现实不符合的。
例如，在排队等候服务的人也有可能因为不耐烦而离开队伍，这会使得队列中其它等待的顾客有机会提前接受服务。
另外根据服务性质的不同，每次服务（通话）时间的分布也许不是服从负指数分布，所以用爱尔兰C公式来分析预测服务水平往往会有偏差的情况，尤其是没有考虑到顾客不耐烦而离开队伍等待的情况。
但是，如果要加入这些额外的限制将会造成整个公式推导变得困难，为了避免复杂的推导，可以通过数值模拟的方式，来估算整体的服务水平

5.6.4 扩展爱尔兰B公式
扩展爱尔兰B公式（Extended Erlang B），适用于损失制系统。
扩展爱尔兰B公式在爱尔兰B公式的假设基础上，考虑了顾客重新呼叫的情形。因此，扩展爱尔兰B公式比爱尔兰B公式更加符合实际情况，提高了话务量的预测精度。
一般来说，顾客在发起呼叫时听到忙音后会以一定的比例重新呼叫，这是比较符合实际情况的。随着重呼次数的增加，线路的负载和呼损也增加。利用扩展爱尔兰B公式计算阻塞概率，需要已知原发话务量、线路数、重呼概率。
扩展爱尔兰B公式计算需要如下迭代过程计算：
- 步骤一：给定原发话务量、线路数量m、重呼概率δ；
- 步骤二：将原发话务量、线路数量m代入爱尔兰B公式，计算出呼损率；
- 步骤三：计算出呼损话务量；
- 步骤四：计算出重呼话务量；
- 步骤五：计算出实际话务量；（可选项）
- 步骤六：计算出下次原发话务量；
- 步骤七：重复上面步骤二至步骤六，直到满足一定的精度要求，此时的呼损率即为扩展爱尔兰B公式计算出的呼损率。
例题

通过上面的例题可以看出，当有顾客进行重新呼叫时，扩展爱尔兰B公式计算的呼损率比爱尔兰B公式计算出的呼损率更为精确。
然而需要注意的是，随着迭代次数的增加，呼损率精确度的提高是有限的。
例如，例题5-14中迭代到第四次时，呼损率的增加仅有千分之一。
下图比较了爱尔兰B公式、50%重呼的扩展爱尔兰B公式和100%重呼的扩展爱尔兰B公式在不同话务量、线路数计算出的阻塞概率

对于较低呼损概率的情况，爱尔兰B公式和扩展爱尔兰B公式的计算结果非常近似。
然而，扩展爱尔兰B公式对输入参数非常敏感。尤其是重呼概率因子，它是比较难确定的。一般来说，如果重呼概率不确定，那么δ=50%是一个比较合理的假设。对于某些特殊情况，比如火警、医院急救，那么重呼概率δ=100%是非常合适的。
总之，对于无限客户源呼叫的电话系统，如何处理呼损话务量是非常重要的。扩展爱尔兰B公式给出了当顾客有重新呼叫情况时最精确也是最贴近实际的呼损结果。如果不考虑重呼情况，那么就应该采用爱尔兰B公式

5.6.5 恩格赛特公式
恩格赛特（Engset）公式的数学模型是M/M/m/m/c排队模型。与前面三个公式不同，恩格赛特公式则适用于有限客户源系统，而爱尔兰B公式、爱尔兰C公式、扩展爱尔兰B公式都是适用于无限顾客源系统。相比较无限顾客源来说，计算有限顾客源呼损概率的情形相比较少。如果错误地选择了计算公式就会出现“有限源增益”现象。下面举例说明。
例题