数字分裂证明

题目

对于任意大于1的数k有一称为分裂的操作，可以将数分裂为a与(k-a)，，且经过分裂之后产生增益：。假设分裂操作一定可以进行，那么对数s进行t次分裂操作所获得最大增益是多少？

思考

设：进行次分裂之后最终的增益为：

当为1时：

设，则：

利用不等式：
所以：
，条件：
即：

当t=2时：

设分裂图为：
事实上，不论是a分裂还是s-a分裂都是等价的，但是为了计算方便，默认单个符号的表达式是较大者，即；
那么：
求导计算取极大值的条件：


求得：

此时：
所以，分裂情况如下：

假设

事实上计算到这里，就可以发现貌似n次，取最大值时最终产生的子数都为：，计算t=3时并结合t=1,2的情况，还可以发现，如果每次分裂产生一个大数和一个小数，小数每次是则可以取到最大值（大数每次分裂减去）。假设任意分裂m次，如果按照以上分裂原则能够取最大值，显然最大值为：

证明：

利用数学归纳法：
由于m=1,m=2时满足该公式，设m=k时满足该公式，现证，m=k+1时满足条件即可，
设第一次分裂为：
后续还需要进行k次分裂，先设a分裂p次，(s-a)分裂q次：
显然有：，将p，q作为常数有：
（运用假设）
对函数f取极大值条件有：

解得：

显然，f极大值为（带入a）：

所以：

所以：，即k+1时候满足条件！
得证！