动态规划：01背包问题（滚动数组）

滚动数组，就是把二维dp降为一维dp
那么我们通过01背包，来彻底讲一讲滚动数组

背包最大重量为4
物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

一维dp数组（滚动数组）

对于背包问题其实状态都是可以压缩的

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把**dp[i - 1]**那一层拷贝到**dp[i]**上，表达式完全可以是：**dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);**

与其把**dp[i - 1]**这一层拷贝到**dp[i]**上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层

i是物品，j是背包容量，dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

• 确定dp数组的定义

  • 在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]

• 一维dp数组的递推公式

  • dp[j]为容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢
  • dp[j]可以通过dp[j - weight[j]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值
  • dp[j - weight[i]] + value[i]表示容量为j - 物品i重量的背包 + 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
  • 此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，指定是取最大的，毕竟是求最大价值
  • dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
  • 可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了

• 一维dp数组如何初始化

  • dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0
  • 那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
  • 看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    • dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷，这样才能让dp数组在递归公式的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了
  • 那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了

• 一维dp数组遍历顺序

  for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
  }

  这里和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！
  二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小

倒叙遍历是为了保证物品i只被放入一次！
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历

为什么倒叙遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒叙就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了

那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒叙呢？
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意

• 举例推导dp数组
  • 一维dp，费用用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：