动态规划：01背包问题

对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包
如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

完全背包又是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包

所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续重点就是讲解如何转化为01背包问题

01 背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大

这是标准的背包问题，以至于看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解

这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

在下面的讲解中，我举一个例子：
背包最大重量为4
物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少
以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例

二维dp数组01背包

• 确定dp数组以及下标的含义
  • 对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即**dp[i][j]**表示从下标为**[0-i]**的物品里任意取，放进容量为**j**的背包，价值总和最大是多少

要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的

• 确定递推公式

  • 再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

  • 那么可以由两个方向推出来dp[i][j]

    • 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
    • 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]]为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值)，就是背包放物品i得到的最大价值
    • 所以递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

• dp数组如何初始化

  • 关于初始化，一定要和**dp**数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱
  • 首先从dp[i][j]的定义触发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

• 状态转移方程dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);可以看出i是由i-1推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化
• dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值

  // 倒叙遍历
  for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
  dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
  }

大家应该发现，这个初始化为什么是倒叙的遍历的？正序遍历就不行么？
正序遍历还真就不行，dp[0][j]表示容量为j的背包存放物品0时候的最大价值，物品0的价值就是15，因为题目中说了“每个物品只有一个！”所以dp[0][j]如果不是初始值的话，就应该都是物品0的价值，也就是15。
但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次

// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}

例如dp[0][1] 是15，到了dp[0][2] = dp[0][2 - 1] + 15; 也就是dp[0][2] = 30了，那么就是物品0被重复放入了

所以一定要倒叙遍历，保证物品0只被放入一次！这一点对01背包很重要，后面在讲解滚动数组的时候，还会用到倒叙遍历来保证物品使用一次！

此时dp数组初始化情况如图所示：
dp[0][j]和dp[i][0]都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

• dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，因为0就是最小的了，不会影响取最大价值的结果
• 如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷了。例如：一个物品的价值是-2，但对应的位置依然初始化为0，那么取最大值的时候，就会取0而不是-2了，所以要初始化为负无穷

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

// 初始化 dp
int[][] dp = new int[weight.length + 1][bagWeight + 1];
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}

• 确定遍历顺序
  • 在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！但是先遍历物品更好理解

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量 
        if (j < weight[i]) 
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

先遍历背包，再遍历物品，也是可以的

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) 
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

为什么二者都是可以的呢？
要理解递归的本质和递推的方向
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]都在dp[i][j]的左上角方向（包括正左和正上两个方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！

其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了

• 举例推导dp数组
  • 来看一下对应的dp数组的数值，如图：

最终结果就是dp[2][4]

做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！