问题

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的二叉搜索树有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数

示例 1：
leetcode-96：不同的二叉搜索树 - 图1
输入：n = 3
输出：5

示例 2：
输入：n = 1
输出：1

思路

640.png
n为1的时候有一棵树，n为2有两棵树，这个是很直观的
640 (1).png
来看看n为3的时候，有哪几种情况

  • 当1为头结点的时候，其右子树有两个节点，看这两个节点的布局，和n为2的时候两棵树的布局是一样的
  • 当3为头结点的时候，其左子树有两个节点，看这两个节点的布局，和n为2的时候两棵树的布局也是一样的
  • 当2为头结点的时候，其左右子树都只有一个节点，布局和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的

发现到这里，其实我们就找到的重叠子问题了，其实也就是发现可以通过dp[1]和dp[2]来推导出来dp[3]的某种方式

思考到这里，这道题目就有眉目了

dp[3]，就是元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

如图所示：
640 (2).png
此时我们已经找到的递推关系了，那么可以用动规五部曲在系统分析一遍

  • 确定dp数组以及下标的含义

    • dp[i]：1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

  • 确定递推公式

    • 在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
    • j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止
    • 所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]，j-1为j为头结点左子树节点数量，i-j为以j为头结点右子树节点数量

  • dp数组如何初始化

    • 初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]
    • 从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了
    • 所以初始化dp[0] = 1

  • 确定遍历顺序

    • 首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠i之前节点数的状态
      1. for (int i = 1; i <= n; i++) {
      2. for (int j = 1; j <= i; j++) {
      3.    dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
      4. }
      5. }

  • 举例推导dp数组

    • n为5时候的dp数组状态如图：

640.png

  1. class Solution {
  2.     public int numTrees(int n) {
  3.         int[] dp = new int[n + 1];
  4.         dp[0] = 1;
  5.         for (int i = 1; i <= n; i++) {
  6.             for (int j = 1; j <= i; j++) {
  7.                 dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
  8.             }
  9.         }
  10.         return dp[n];
  11.     }
  12. }
  • 时间复杂度：leetcode-96：不同的二叉搜索树 - 图6
  • 空间复杂度：leetcode-96：不同的二叉搜索树 - 图7