leetcode-322：零钱兑换

问题

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1
你可以认为每种硬币的数量是无限的

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

示例 4：
输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

示例 5：
输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

提示：
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

思路

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题

动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组以及下标的含义

  • **dp[j]**：凑足总额为**j**所需钱币的最少个数为**dp[j]**

• 确定递推公式

  • 得到**dp[j]**（考虑**coins[i]**），只有一个来源，**dp[j - coins[i]]**（没有考虑**coins[i]**）
  • 凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
  • 所以dp[j]要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的
  • 递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

• dp数组如何初始化

  • 首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
  • 其他下标对应的数值呢？
  • 考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖
  • 所以下标非0的元素都是应该是最大值

    int max = Integer.MAX_VALUE;
    int[] dp = new int[amount + 1];
    //初始化dp数组为最大值
    for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
    dp[j] = max;
    }

• 确定遍历顺序

  • 本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。所以本题并不强调集合是组合还是排列

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包

• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品

本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

• 举例推导dp数组
  • 以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

dp[amount]为最终结果

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组为最大值
        for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != max) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = Math.min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == max) 
            return -1;
        return dp[amount];
    }
}

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组为最大值
        for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        dp[0] = 0;
        // i = 1开始，应该和初始化有关
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍历背包    
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) { // 遍历物品 
                if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != max) {
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == max) 
            return -1;
        return dp[amount];
    }
}