子序列问题 - leetcode-72：编辑距离 - 《算法珠玑》

问题
思路

问题

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数
你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’)
rorse -> rose (删除 ‘r’)
rose -> ros (删除 ‘e’)

示例 2：
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 ‘t’)
inention -> enention (将 ‘i’ 替换为 ‘e’)
enention -> exention (将 ‘n’ 替换为 ‘x’)
exention -> exection (将 ‘n’ 替换为 ‘c’)
exection -> execution (插入 ‘u’)

思路

编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂
编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离

确定dp数组以及下标的含义
- **dp[i][j]** 表示以下标**i-1**为结尾的字符串**word1**，和以下标**j-1**为结尾的字符串**word2**，最近编辑距离为**dp[i][j]**
- 这里在强调一下：为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？用i来表示也可以！但我统一以下标i-1为结尾的字符串，在下面的递归公式中会容易理解一点
确定递推公式
- 在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
  - if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    - 不操作
  - if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    - 增
    - 删
    - 换
  - 也就是如上四种情况
- if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j]就应该是dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
  - 那么为什么是dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？
  - 那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是dp[i][j]了
- 在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！
- if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
  - 操作一：word1增加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-2为结尾的word1与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离加上一个增加元素的操作
    - 即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
  - 操作二：word2添加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-1为结尾的word1与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离加上一个增加元素的操作
    - 即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
  - 这里有同学发现了，怎么都是添加元素，删除元素去哪了
    - word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = “ad” ，word2 = “a”，word2添加一个元素d，也就是相当于word1删除一个元素d，操作数是一样！
  - 操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1与j-2为结尾的word2的最近编辑距离加上一个替换元素的操作
    - 即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
  - 综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
```
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}
```
dp数组如何初始化
- **dp[i][j]** 表示以下标**i-1**为结尾的字符串**word1**，和以下标**j-1**为结尾的字符串**word2**，最近编辑距离为**dp[i][j]**
- 那么dp[i][0]和 dp[0][j] 表示什么呢？
  - dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]
  - 那么dp[i][0]就应该是i，对空字符串做添加元素的操作就可以了，即：dp[i][0] = i;
  - 同理dp[0][j] = j;
```
for (int i = 0; i <= word1.length(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.length(); j++) dp[0][j] = j;
```
确定遍历顺序

从如下四个递推公式：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：
640 (2).webp
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历

for (int i = 1; i <= word1.length(); i++) {
    for (int j = 1; j <= word2.length(); j++) {
        if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
        }
        else {
            dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
        }
    }
}

举例推导dp数组
- 以示例1，输入：word1 = “horse”, word2 = “ros”为例，dp矩阵状态图如下：

640 (3).webp

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
        for (int i = 0; i <= word1.length(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.length(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.length(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.length(); j++) {
                if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]),
                                        dp[i - 1][j]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.length()][word2.length()];
    }
}