问题

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）

示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：
在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3

示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：
在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票

示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0

示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0

思路

关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖

接来下我用动态规划五部曲详细分析一下：

  • 确定dp数组以及下标的含义

    • 一天一共就有五个状态
      • 没有操作
      • 第一次买入
      • 第一次卖出
      • 第二次买入
      • 第二次卖出
    • dp[i][j]中i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金

  • 确定递推公式

    • 需要注意：dp[i][1]，表示的是第**i**天，买入股票的状态，并不是说一定要第**i**天买入股票
    • 达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
      • 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
      • 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
    • 那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

    • 一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

    • 同理dp[i][2]也有两个操作：

      • 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
      • 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
      • 所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

    • 同理可推出剩下状态部分：

      • dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
      • dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

  • dp数组如何初始化

    • 第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
    • 第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
    • 第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
    • 首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0
    • 从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了
    • 所以dp[0][2] = 0;
    • 第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？
    • 不用管第几次，现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少
    • 所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
    • 同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

  • 确定遍历顺序

    • 从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值

  • 举例推导dp数组

    • 以输入[1,2,3,4,5]为例

640 (1).png

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态
现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出
所以最终最大利润是dp[4][4]

  1. class Solution {
  2.     public int maxProfit(int[] prices) {
  3.         int len = prices.length;
  4.         if (len == 0) return 0;
  6.         int[][] dp = new int[len][5];
  7.         dp[0][1] = -prices[0];
  8.         dp[0][3] = -prices[0];
  10.         for (int i = 1; i < len; i++) {
  11.             dp[i][0] = dp[i - 1][0];
  12.             dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
  13.             dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
  14.             dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
  15.             dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
  16.         }
  17.         return dp[len - 1][4];
  18.     }
  19. }
  • 时间复杂度：leetcode-123：买卖股票的最佳时机Ⅲ - 图2
  • 空间复杂度：leetcode-123：买卖股票的最佳时机Ⅲ - 图3