leetcode-377：组合总和Ⅳ

问题

给你一个由不同整数组成的数组 nums，和一个目标整数 target。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数
题目数据保证答案符合 32 位整数范围

示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合

示例 2：
输入：nums = [9], target = 3
输出：0

提示：
1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 1000
nums 中的所有元素互不相同
1 <= target <= 1000

思路

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！

• 组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合
• 排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列

本题本质上求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来
如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜

动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组以及下标的含义

  • **dp[i]**: 凑成目标正整数为**i**的排列个数为**dp[i]**

• 确定递推公式

  • dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来
  • 因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分

• dp数组如何初始化

  • 因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础
  • 至于dp[0] = 1 有没有意义呢？其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式
  • 至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]

• 确定遍历顺序

  • 个数可以不限使用，说明这是一个完全背包
  • 得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序

  • 本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了

  • 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包

  • 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

• 举例来推导dp数组
  • 我们再来用示例中的例子推导一下：

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

• 时间复杂度：，其中 target 是目标值，n 是数组 nums 的长度。需要计算长度为 target+1 的数组 dp 的每个元素的值，对于每个元素，需要遍历数组 nums 之后计算元素值
• 空间复杂度：。需要创建长度为 target+1 的数组 dp