问题

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target
向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-‘ ，然后串联起所有整数，可以构造一个表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-‘ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1”
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目

示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：
输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：
1 <= nums.length <= 20
0 <= nums[i] <= 1000
0 <= sum(nums[i]) <= 1000
-1000 <= target <= 1000

思路

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系
本题要如何使表达式结果为target

既然为target，那么就一定有left组合 - right组合 = target
left + right = sum，而sum是固定的

公式来了， left - (sum - left) = target -> left = (target + sum)/2
target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来
此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合

回溯算法

  1. class Solution {
  2.     List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
  3.     List<Integer> path = new ArrayList<>();
  5.     public void backtracking(int[] candidates, int target, int sum, int startIndex) {
  6.         if (sum == target) {
  7.             result.add(new ArrayList<Integer>(path));
  8.         }
  10.         // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
  11.         for (int i = startIndex; i < candidates.length && sum + candidates[i] <= target; i++) {
  12.             sum += candidates[i];
  13.             path.add(candidates[i]);
  14.             backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
  15.             sum -= candidates[i];
  16.             path.remove(path.size() - 1);
  17.         }
  18.     }
  20.     public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
  21.         int sum = 0;
  22.         for (int i = 0; i < nums.length; i++) 
  23.             sum += nums[i];
  24.         if (S > sum) 
  25.             return 0; // 此时没有方案
  26.         if ((S + sum) % 2) 
  27.             return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要小心数值溢出的问题
  29.         int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和
  31.         // 以下为回溯法代码
  32.         Arrays.sort(nums); // 需要排序
  33.         backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
  34.         return result.size();
  35.     }
  36. }

动态规划

如何转化为01背包问题呢
假设添加“+”的元素总和为x，那么添加“-”对应的总和就是sum - x，S是target
所以我们要求的是

  • x - (sum - x) = S
  • x = (S + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为x背包，有几种方法

看到(S + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响
这么担心就对了，例如sum是5，S是2的话其实就是无解的，所以：

  1. if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

看到这种表达式，应该本能的反应，两个int相加数值可能溢出的问题，当然本题并没有溢出

再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？
因为每个物品（题目中的1）只用一次！
这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少
本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了

  • 确定dp数组以及下标的含义

    • dp[j]表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
    • 其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法

  • 确定递推公式

    • 有哪些来源可以推出dp[j]呢？
    • 不考虑nums[i]的情况下，填满容量为j - nums[i]的背包，有dp[j - nums[i]]种方法
    • 那么只要搞到nums[i]的话，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]]种方法

那么需要把这些方法累加起来就可以了，dp[i] += dp[j - nums[i]]
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

  1. dp[j] += dp[j - nums[i]]

  • dp数组如何初始化

    • 从递归公式可以看出，在初始化的时候dp[0]一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递归结果将都是0
    • dp[0] = 1，理论上也很好解释，装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品
    • dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来

  • 确定遍历顺序

    • nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序

  • 举例推导dp数组

    • 输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
    • bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

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  1. class Solution {
  2.     public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
  3.         int sum = 0;
  4.         for (int i = 0; i < nums.length; i++) 
  5.             sum += nums[i];
  7.         if (target > sum) return 0; // 此时没有方案
  8.         if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
  10.         int bagSize = (target + sum) / 2;
  12.         int[] dp = new int[bagSize + 1];
  14.         dp[0] = 1;
  16.         for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
  17.             for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
  18.                 dp[j] += dp[j - nums[i]];
  19.             }
  20.         }
  21.         return dp[bagSize];
  22.     }
  23. }
  • 时间复杂度O(n * m)，n为正数个数，m为背包容量
  • 空间复杂度：O(m) m为背包容量