问题

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）

示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：
在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2

示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：
在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3

思路

动规五部曲，分析如下：

  • 确定dp数组以及下标的含义
    • 使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

  1.   - 0 表示不操作
  2.   - 1 第一次买入
  3.   - 2 第一次卖出
  4.   - 3 第二次买入
  5.   - 4 第二次卖出
  6.   - .....


  • 大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入
  • 题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了
    int[][] dp = new int[prices.length][2 * k + 1];

  • 确定递推公式

    • 还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第**i**天，买入股票的状态，并不是说一定要第**i**天买入股票

    • 达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

      • 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
      • 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
      • 选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][0]);

    • 同理dp[i][2]也有两个操作：

      • 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
      • 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
      • 所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][i] + prices[i], dp[i][2])

    • 同理可以类比剩下的状态，代码如下：

      for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) { 
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

  • dp数组如何初始化

    • 第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
    • 第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
    • 第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
      • 首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0
      • 从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。
    • 所以dp[0][2] = 0;
    • 第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？
    • 不用管第几次，现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少
    • 第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
    • 所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 **-prices[0]**
      for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = -prices[0];
}

  • 确定遍历顺序

    • 从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历

  • 举例推导dp数组

    • 以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例

640 (2).png

最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.length - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {

        if (prices.length == 0) return 0;

        int[][] dp = new int[prices.length][2 * k + 1];

        for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
            dp[0][j] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1;i < prices.length; i++) {
            for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) { 
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.length - 1][2 * k];
    }
}