leetcode-343：整数拆分

问题

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积

示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

思路

看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个….

我们来看一下如何使用动规来解决

动态规划

• 确定dp数组以及下标的含义
  • dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]

• 确定递推公式
  • 可以想dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
  • 其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i]
    • 一个是j * (i - j) 直接相乘
    • 一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)
  • j从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了
  • 那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j取最大的
  • 递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

• dp的初始化
  • dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
  • 有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了
  • 严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1]就不应该初始化，也就是没有意义的数值
    • 拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
    • 这是无解的
  • 在此，仅初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议

• 确定遍历顺序
  • 确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
  • dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]
  • 枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来

    for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
       dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
    }

• 举例推导dp数组
  • 举例当n为10的时候，dp数组里的数值，如下：

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

时间复杂度：
空间复杂度：