问题

数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）
每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯

请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯

示例 1：
输入：cost = [10, 15, 20]
输出：15
解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15

示例 2：
输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
输出：6
解释：最低花费方式是从 cost[0] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost[3] ，一共花费 6

思路

注意题目描述：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯

读完题大家应该知道指定需要动态规划的，贪心是不可能了

  • 确定dp数组以及下标的含义

    • 使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了
    • dp[i]的定义：第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]（对于dp数组的定义，一定要清晰！）

  • 确定递推公式

    • 可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1]，一个是dp[i-2]，那么究竟是选dp[i-1]还是dp[i-2]呢？
    • 一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
    • 注意这里为什么是加cost[i]，而不是cost[i-1],cost[i-2]之类的，因为题目中说了：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值

  • dp数组如何初始化

    • 根据dp数组的定义，dp数组初始化其实是比较难的，因为不可能初始化为第i台阶所花费的最少体力
    • 那么看一下递归公式，dp[i]由dp[i-1]，dp[i-2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出
      1. int[] dp = new int[cost.length];
      2. dp[0] = cost[0];
      3. dp[1] = cost[1];

  • 确定遍历顺序

    • 最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？本题的遍历顺序其实比较简单，因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来

例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢？以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒叙呢？

这些都是遍历顺序息息相关

  • 举例推导dp数组

拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
leetcode-746：使用最小花费爬楼梯 - 图1

  1. class Solution {
  2.     public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
  3.         int[] dp = new int[cost.length];
  4.         dp[0] = cost[0];
  5.         dp[1] = cost[1];
  7.         for (int i = 2; i < cost.length; i++) {
  8.             dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
  9.         }
  10.         // 注意最后一步可以理解为不用花费，所以取倒数第一步，第二步的最少值
  11.         return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2]);
  12.     }
  13. }

时间复杂度：leetcode-746：使用最小花费爬楼梯 - 图2
空间复杂度：leetcode-746：使用最小花费爬楼梯 - 图3

  1. class Solution {
  2.     public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
  3.         int dp0 = cost[0];
  4.         int dp1 = cost[1];
  5.         for (int i = 2; i < cost.length; i++) {
  6.             int dpi = Math.min(dp0, dp1) + cost[i];
  7.             dp0 = dp1; // 记录一下前两位
  8.             dp1 = dpi;
  9.         }
  10.         return Math.min(dp0, dp1);
  11.     }
  12. }