重学数据结构与算法-中科院资深算法专家 - 14 | 动态规划：如何通过最优子结构，完成复杂问题求解？ - 《📚 技术修行》

然而在实际工作中还存在这样一类问题，它们满足前 3 个条件，唯独不满足第 4 个条件。那么这类问题我们该怎么解决呢？本课时，我们就来学习求解这类问题的动态规划算法，它是最常用的算法之一。

那么，什么是多轮决策呢？其实多轮决策的每一轮都可以看作是一个子问题。从分治法的视角来看，每个子问题必须相互独立。但在多轮决策中，这个假设显然不成立。这也是动态规划方法产生的原因之一。

不难发现，我们需要求解的路线是由 A 到 G，这就意味着 A 要先到 B，再到 C，再到 D，再到 E，再到 F。每一轮都需要做不同的决策，而每次的决策又依赖上一轮决策的结果。

例如，做 D2 -> E 的决策时，D2 -> E2 的距离为 1，最短。但这轮的决策，基于的假设是从 D2 出发，这就意味着前面一轮的决策结果是 D2。由此可见，相邻两轮的决策结果并不是独立的。

动态规划还有一个重要概念叫作状态。在这个例子中，状态是个变量，而且受决策动作的影响。例如，第一轮决策的状态是 S1，可选的值是 A，第二轮决策的状态是 S2，可选的值就是 B1 和 B2。以此类推。

动态规划问题之所以难，是因为动态规划的解题方法并没有那么标准化，它需要你因题而异，仔细分析问题并寻找解决方案。虽然动态规划问题没有标准化的解题方法，但它有一些宏观层面通用的方法论：

到这里，动态规划的概念和方法就讲完了。接下来，我们以最短路径问题再来看看动态规划的求解方法。在这个问题中，你可以采用最暴力的方法，那就是把所有的可能路径都遍历一遍，去看哪个结果的路径最短的。如果采用动态规划方法，那么我们按照方法论来执行。

第一轮的状态 S1 = A，第二轮 S2 = {B1,B2}，第三轮 S3 = {C1,C2,C3,C4}，第四轮 S4 = {D1,D2,D3}，第五轮 S5 = {E1,E2,E3}，第六轮 S6 = {F1,F2}，第七轮 S7 = {G}。

决策变量就是上面图中的每条边。我们以第四轮决策 D -> E 为例来看，可以得到 u4(D1)，u4(D2)，u4(D3)。其中 u4(D1) 的可能结果是 E1 和 E2。

别忘了，我们的目标是总距离最短。我们定义 d__k(s__k,u__k) 是在 sk 时，选择 uk 动作的距离。例如，_d_5(_E_1,_F_1) = 3。那么此时 n = 7，则有，

好了，为了让大家清晰地看到结果，我们给出详细的计算过程。为了书写简单，我们把函数 Vk,7(s1\=A, s7\=G) 精简为 V7(G)，含义为经过了 6 轮决策后，状态到达 G 后所使用的距离。我们把图片复制到这里一份，方便大家不用上下切换。

接下来，我们尝试用代码来实现上面的计算过程。对于输入的图，可以采用一个 m x m 的二维数组来保存。在这个二维数组里，m 等于全部的结点数，也就是结点与结点的关系图。而数组每个元素的数值，定义为结点到结点需要的距离。

public class testpath {
public static int minPath1(int[][] matrix) {
return process1(matrix, matrix[0].length-1);
    }
public static int process1(int[][] matrix, int i) {
if (i == 0) {
return 0;
        }
else{
int distance = 999;
for(int j=0; j<i; j++){
if(matrix[j][i]!=0){
int d_tmp = matrix[j][i] + process1(matrix, j);
if (d_tmp < distance){
                        distance = d_tmp;
                    }
                }
            }
return distance;
        }
    }
public static void main(String[] args) {
int[][] m = {{0,5,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,1,3,6,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,8,7,6,0,0,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,6,8,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,3,5,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,8,4,0,0,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,0,0,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,5,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,5,2,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,6,6,0},{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4},{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3}};
        System.out.println(minPath1(m));
    }
}

然后调用函数 minPath1。在第 2 到第 4 行，它的内部又调用了 process1(matrix, matrix[0].length-1)。在这里，matrix[0].length-1 的值是 15，表示的含义是 matrix 数组的第 16 列（G）是目的地。

假设有且仅有 1 个最大公共子串。比如，输入 a = “13452439”， b = “123456”。由于字符串 “345” 同时在 a 和 b 中出现，且是同时出现在 a 和 b 中的最长子串。因此输出 “345”。

动态规划领域有很多经典问题，本课时，我们讲述了最短路径的问题。需要明确的是，动态规划并不简单，动态规划的适用范围也没有那么广。如果你不是专门从事运筹优化领域的工作，对它不了解也很正常。如果在求职过程中，你求职的岗位与运筹优化关系不大，一般而言被考察到动态规划的可能性也是极低的。