案例解析 - 30 斐波那契数列 - 《Python程序设计数字教程》

斐波那契数列特性

兔子从出生后第3 个月起每个月都会生一对兔子，小兔子成长到第三个月后每个月又会生一对兔子。初始有一对小兔子，假如兔子都不死，用户输入一个月份数，计算并在一行内输出从1 到n 月每个月的兔子数量。
（Fibonacci sequence）

1 1 2 3 5 8 13

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列指的是这样一个数列：
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 ……
在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、…具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部……。
斐波那契数列数学上可以获得通项公式：

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当 n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618）,又称黄金分割数列。

在计算机中，尤其是在Python中，因会引入浮点数，一般不用这个方法，而广泛使用递推公式实现。

30 斐波那契数列 - 图4
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：
F(1)=1，
F(2)=1,
F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）

n = int(input())        # int函数将input()接收到的字符串转成整数
f1 = 1
f2 = 1                  # 设定初始的前2项为1和1
for i in range(n):      # 循环n次，输出前n个月的数列
    print(f1, end=' ')  # 输出当前项，不换行
    fn = f1 + f2        # f1 + f2为产生的新项
    f1 = f2             # 原来的第二项做为第1项
    f2 = fn             # 新项做为新的第2项

可以简化一下

n = int(input())        # int函数将input()接收到的字符串转成整数
f1, f2 = 1, 1           # 设定初始的前2项为1和1
for i in range(n):      # 循环n次，输出前n个月的数列
    print(f1, end=' ')  # 输出当前项，不换行
    f2 = f1 + f2        # f1 + f2为产生的新项
    f1 = f2 - f1        # 新的f2(新)-f1=f1+f2-f1=f2(旧)

n = int(input())          # int函数将input()接收到的字符串转成整数
f1, f2 = 1, 1             # 设定初始的前2项为1和1
for i in range(n):        # 循环n次，输出前n个月的数列
    print(f1, end=' ')    # 输出当前项，不换行
    f1, f2 = f2, f1 + f2  # 同步赋值，同时把f1,f2标签贴到原f2和原f1+f2的结果上
# 20
# 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

可以写成函数

def fib(n):          
    '''输出斐波那契数的前n项，首项从0开始'''
    f1, f2 = 1, 1             # 设定初始的前2项为1和1
    for i in range(n):        # 循环n次，输出前n个月的数列
        print(f1, end=' ')    # 输出当前项，不换行
        f1, f2 = f2, f1 + f2  # 同步赋值，同时把f1,f2标签贴到原f2和原f1+f2的结果上
if __name__ == '__main__':
    n = int(input())       # int函数将input()接收到的字符串转成整数
    fib(n)                 # 调用fib()函数进行计算

可以用列表推导式方便的获得斐波那契数列，可利用索引方法获取其中任一个数，或用ls[-1]获得最后一个数字。

n = int(input())         # int函数将input()接收到的字符串转成整数
ls = [1, 1]              # 设定初始的前2项为1和1
[ls.append(ls[i - 2] + ls[i - 1]) for i in range(2,n)]
print(ls)
# 20
# [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765]

递归方法实现第n个月的兔子数量

def fib(n):
    """输出斐波那契数的第n项，首项从1开始"""
    if n <= 2:
        v = 1                    # 数列前两个数都是1
        return v                 # 返回结果，并结束函数
    v = fib(n - 1) + fib(n - 2)  # 后一个数是前两个数之和
    return v                     # 返回结果，并结束函数
if __name__ == '__main__':
    num = int(input())  # int函数将input()接收到的字符串转成整数
    print(fib(num))     # 调用fib()函数进行计算第num月兔子数量

斐波那契数列特性

平方与前后项

从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1。
如：第二项 1 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 2 的积 2 少 1，第三项 2 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 3 的积 3 多 1。
[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765]
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶）

奇数项求和

30 斐波那契数列 - 图6

偶数项求和

30 斐波那契数列 - 图7

ls = [1, 1]              # 设定初始的前2项为1和1
[ls.append(ls[i - 2] + ls[i - 1]) for i in range(2,20)]
print(ls)
print(sum(ls[0:20:2]))   # 6765  奇数项和
print(sum(ls[1:20:2]))   # 10945 = 4181 + 6765 - 1  偶数项和
# [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765]

平方求和

30 斐波那契数列 - 图8

ls = [1, 1]                               # 设定初始的前2项为1和1
[ls.append(ls[i - 2] + ls[i - 1]) for i in range(2,20)]
print(ls)
print(sum(ls[i] **2 for i in range(20)))  # 74049690
print(ls[19] * (ls[19] +  ls[18]))        # 74049690

高效方法

一个为函数提供缓存功能的装饰器，缓存 maxsize 组传入参数，在下次以相同参数调用时直接返回上一次的结果。用以节约高开销或I/O函数的调用时间。
由于使用了字典存储缓存，所以该函数的固定参数和关键字参数必须是可哈希的。
不同模式的参数可能被视为不同从而产生多个缓存项，例如, f(a=1, b=2) 和 f(b=2, a=1) 因其参数顺序不同，可能会被缓存两次
如果指定了 user_function，它必须是一个可调用对象。这允许 lru_cache 装饰器被直接应用于一个用户自定义函数，让 maxsize 保持其默认值 128:
如果 maxsize 设为 None，LRU 特性将被禁用且缓存可无限增长。

from functools import lru_cache
@lru_cache(maxsize=None)
def fib(n):
    if n < 2:
        return n
    return fib(n - 1) + fib(n - 2)
if __name__ == '__main__':
    for i in range(1000):
        print(fib(i))