题目描述

解题思路

n为1和2的情况

n为三的情况

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] dp[0] + dp[1] dp[1] + dp[0] dp[2]

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

• 确定递推公式

在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

• 初始化

dp[0]表示0个元素也可以构成一个树，同时也为了防止递推公式后面都为0

• 确定遍历顺序

首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

• 举例推导dp数组

n为5时候的dp数组状态如图：

public int numTrees(int n) {
    // dp[i]表示i个节点共有dp[i]个组成结构
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始化dp数组，dp[0]需要初始化为1，防止后面相乘为0
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {  // j来遍历i里面每一个数作为头节点的状态
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
        }
    }
    return dp[n];
}