递归函数

+递归 - 图1

廖雪峰

在函数内部，可以调用其他函数。 如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。 举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数fact(n)表示， 可以看出：

fact(n)=n!=1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)×n=(n−1)!×n=f act(n−1)×n

所以，fact(n)可以表示为**n x **fact(n-1)， 只有n=1时需要特殊处理。 于是，fact(n)用递归的方式写出来就是： 
  1. def fact(n):
  2.     if n==1:
  3.         return 1
  4.     return n * fact(n - 1)
上面就是一个递归函数。可以试试： 
  1. >>> fact(1)
  2. 1
  3. >>> fact(5)
  4. 120
  5. >>> fact(100)
  6. 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
如果我们计算fact(5)， 可以根据函数定义-看到计算过程如下： 
  1. => fact(5)
  2. => 5 * fact(4)
  3. => 5 * (4 * fact(3))
  4. => 5 * (4 * (3 * fact(2)))
  5. => 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
  6. => 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
  7. => 5 * (4 * (3 * 2))
  8. => 5 * (4 * 6)
  9. => 5 * 24
  10. => 120
递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。 理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如 递归清晰。 使用递归函数需要注意防止栈溢出。 在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的， 每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧， 每当函数返回，栈就会减一层栈帧。 由于栈的大小不是无限的， 所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。 可以试试fact(1000)： 
  1. >>> fact(1000)
  2. Traceback (most recent call last):
  3.   File "<stdin>", line 1, in <module>
  4.   File "<stdin>", line 4, in fact
  5.   ...
  6.   File "<stdin>", line 4, in fact
  7. RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison
解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化， 事实上尾递归和循环的效果是一样的， 所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。 尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身， 并且，return语句不能包含表达式。 这样，编译器或者解释器-就可以把尾递归做优化， 使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。 上面的fact(n)函数-由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。 要改成尾递归方式，需要多一点代码， 主要是要把每一步的乘积-传入到递归函数中： 
  1. def fact(n):
  2.     return fact_iter(n, 1)
  4. def fact_iter(num, product):
  5.     if num == 1:
  6.         return product
  7.     return fact_iter(num - 1, num * product)
可以看到，return fact_iter(num - 1, num * product)仅返回递归函数本身，

num - 1和num * product在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

fact(5)对应的fact_iter(5, 1)的调用如下：

  1. => fact_iter(5, 1)
  2. => fact_iter(4, 5)
  3. => fact_iter(3, 20)
  4. => fact_iter(2, 60)
  5. => fact_iter(1, 120)
  6. => 120
尾递归调用时， 如果做了优化，栈不会增长， 因此，无论多少次调用-也不会导致栈溢出。 遗憾的是，大多数编程语言-没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化， 所以，即使把上面的fact(n)函数-改成尾递归方式，也会导致栈溢出。 ### 练习 汉诺塔的移动-可以用递归函数-非常简单地实现。 请编写move(n, a, b, c)函数，它接收参数n，表示3个柱子A、B、C中第1个柱子A的盘子数量，然后打印出把所有盘子从A借助B移动到C的方法，例如： 
  1. def move(n, a, b, c):
  2.     if n == 1:
  3.         print(a, '-->', c)
  5. # 期待输出:
  6. # A --> C
  7. # A --> B
  8. # C --> B
  9. # A --> C
  10. # B --> A
  11. # B --> C
  12. # A --> C
  13. move(3, 'A', 'B', 'C')

参考源码

recur.py

小结

使用递归函数的优点是:逻辑简单清晰， 缺点是:过深的调用会导致栈溢出。 针对尾递归优化的语言,可以通过尾递归防止栈溢出。 尾递归事实上和循环是等价的， 没有循环语句的编程语言,只能通过尾递归实现循环。 Python标准的解释器没有针对尾递归做优化， 任何递归函数都存在栈溢出的问题。