有 N 件物品和一个最多能背重量为 W 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i]，其价值是 value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和 01 背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限个。

同样 leetcode 上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

一、滚动数组——完全背包

在下面的讲解中，我依然举这个例子：
背包最大重量为 4。
物品为：

每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
01 背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！

分析过程

首先在回顾一下 01 背包的核心代码

for (let i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
  for (let j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
      dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
  }
}

我们知道 01 背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for (let i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
  for (let j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
     dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
  }
}

dp状态图如下：

相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。
其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？
这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认 遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？
难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？
看之前的 背包理论之 01 背包，就知道了，01 背包中二维 dp 数组的两个 for 遍历的先后循序是可以颠倒了，一维 dp 数组的两个 for 循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维 dp 数组来说，其实两个 for 循环嵌套顺序同样无所谓！
因为dp[j]是根据 下标 j 之前所对应的 dp[j] 计算出来的。 只要保证下标j 之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个 for 循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）
先遍历背包在遍历物品，代码如下：

// 先遍历背包，再遍历物品
for (let j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
  for (let i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
    if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
  }
}

完整代码

function completePack(value, weight, bagWeight) {
   const dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
   for (let i = 0;i < weight.length; i++) {
     for (let j = weight[i];j <= bagWeight;j++) {
       dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
     }
   }
  return dp[bagWeight]
}
const weight_test = [1, 3, 5]
const value_test = [15, 20, 30]
const bagWeight = 4
const result = completePack(value_test, weight_test, bagWeight)

总结

细心的同学可能发现，全文我说的都是对于纯完全背包问题，其 for 循环的先后循环是可以颠倒的！
但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个 for 循环的先后顺序就有很大区别了，而 leetcode 上的题目都是这种稍有变化的类型。