6. 分割等和子集（416）

一、题目内容 中等

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例1：

输入：nums = [1,5,11,5] 输出：true 解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]

示例2：

输入：nums = [1,2,3,5] 输出：false 解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

• 1 <= nums.length <= 200

• 1 <= nums[i] <= 100

  二、解题思路

  只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为 sum / 2

• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

01背包中，dp[j] 表示： 容量为 j 的背包，所背的物品价值可以最大为 dp[j]。
套到本题，dp[j] 表示 背包总容量是 j，最大可以凑成 j 的子集总和为 dp[j]。

1. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
本题，相当于背包里放入数值，那么物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])

1. dp 数组如何初始化

在 01 背包，一维 dp 如何初始化，已经讲过，从 dp[j] 的定义来看，首先 dp[0] 一定是 0。
如果题目给的价值都是正整数，那么非 0 下标都初始化为 0 就可以了。
如果题目给的价值有负数，那么非 0 下标就要初始化为负无穷。
这样才能让 dp 数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

1. 确定遍历顺序

如果使用一维 dp 数组，物品遍历的 for 循环放在外层，遍历背包的 for 循环放在内层，且内层 for 循环倒序遍历！

for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
  for (let j = mid; j >= nums[i]; j--) {
    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
  }
}

1. 举例推导 dp 数组

dp[i] 的数值一定是小于等于 i 的。
如果 dp[i] === i 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和 i，理解这一点很重要。
用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图

三、具体代码

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var canPartition = function (nums) {
  const sum = nums.reduce((pre, cur) => pre + cur, 0)
  const mid = sum / 2
  if (sum % 2) return false
  const dp = new Array(mid + 1).fill(0)
  nums.sort((a, b) => a - b)
  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    for (let j = mid; j >= nums[i]; j--) {
      dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
    }
  }
  if (dp[mid] === mid) return true
  return false
};

四、其他解法

回溯法