20220205 双十八上期末第25题

2022年厦门双十中学八年级上学期期末第25题

• 难　度：★★★

题目

平面直角坐标系中，点 #card=math&code=A%280%2Ca%29&id=WWl6F) 在 y 轴正半轴，点 #card=math&code=B%28b%2C0%29&id=e5EUG) 在 x 轴正半轴，以线段 AB 为边在第一象限内作等边 △ABC，点 C 关于 y 轴的对称点为点 D，连接 AD，BD，且 BD 交 y 轴于点 E．

（1）补全图形，并填空；
①若点 C(2,3)，则点 D 的坐标是；
②若 ∠CAD=140°，则 ∠BEO= .

（2）若 ，求证：AD 垂直平分BC；

（3）若 时，探究 OE，AE，DE 的数量关系，并证明．

答案

（1）① D(-2,3) ②∠BEO=60°
（2）参见解析
（3）DE= 2EO+AE，详见解析

解析

（1）补全图形如下：

① 根据对称性可知 D(-2,3)
② ，

，

，

%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%E2%88%A0CAD-60%C2%B0#card=math&code=%E2%88%B4%E2%88%A0ABD%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%28180%C2%B0-%E2%88%A0DAB%29%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%E2%88%A0CAD-60%C2%B0&id=Nhq0Q)

注意，∠BEO 的度数实际与 ∠CAD 度数无关，始终是 60°。

（2）如图，延长DA至点G，交BC于点G，

由已知可得，a=b=3，则 ∠OAB=45°，证明略。

（3）解此题，首先需要知道 ∠BEO=60°，
由平角和对称性可知∠AED=∠AEC=60°

【思路一】
如图，作等边△EGC，

易证 △AEC≌△BGC，AE=BG
而 DE=CE=EG，
BE=2EO（Rt△OBE中∠OBE=30°）

∴ DE=BE+BG=2EO+AE

【思路二】
作 HE=AE，则 △AEH 为等边三角形，
再证明 △AED≌△AHB（AAS），
则 DE=BH=HE+EB=AE+2EO

此题关键点是要求得∠BEO=60°。

提高

分析思考——归纳总结——建立模型，这是少做练习，提高效率的有效方法。

从此题中，我们可以归纳出一个数学模型来，遇到类似问题，可以加快我们的解题速度。

模型一

如图，已知等边 △ABC 与 △AFD 关于直线 对称，连接 BD、CF，交于点 E.
求：∠BEC的度数。

∵ AD=AB，∴ ∠ABE=∠ADE
又根据对称性，∠ADE=∠ACE，∴ ∠ABE =∠ACE
根据 8 字模型，∠BEC=∠BAC=60°，

【拓展】
由平角和对称性可知 ∠AED=∠AEC=60°，
那么点 E 周围的 6 个角都是 60°。

模型二（模型一的变形）

C、D 关于直线 对称，△ABC 是等边三角形，则 ∠AED=∠AEC=∠BEC=60°

证明方法，可以作点 B 关于 的对称点 F，构造对称等边 △DEF。（参考模型一）

数学模型网址

可以拖动红点，观察变化。