分类讨论题型 - 20220212 松柏中学八上期末第24题 - 《天爸试题研究》

2022年厦门松柏中学八年级上学期期末第24题

（1）已知 △ABC 中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知 △ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求 ∠ABC 与 ∠C 之间的关系．

（1）如图，有两种分法。

(2) ∠ABC 与 ∠C 之间的关系有以下几种情况：
① $20220212 松柏中学八上期末第24题 - 图3$
②∠ABC＝3∠C
③∠ABC＝180°－3∠C
④∠ABC＝90°，∠C 是小于 45° 的任意锐角．

（1）是（2）的特例，分析清楚（2）之后，（1）的情况就很简单了。

(2) 设经过点 B 的直线交 AC 于点 D，则按照顶点的不同可以分类如下：
① 如图，△BCD 中点 C 为顶点，

由于 ∠ADB>90°，所以 △ABD 中只能是点 D 为顶点，
此时 $20220212 松柏中学八上期末第24题 - 图5$

② 如图，△BCD 中点 D 为顶点，△ABD 中点 A 为顶点，

此时，∠ABC＝3∠C

③ 如图，△BCD 中点 D 为顶点，△ABD 中点 B 为顶点，

此时，∠ABC＝180°－3∠C

④ 如图，△BCD 中点 D 为顶点，△ABD 中点 D 为顶点，

∠ABC＝90°，∠C 是最小的角，则 ∠C < 45°．

⑤ 如图，△BCD 中点 B 为顶点，

此时，∠C=∠BDC>∠A，与已知不符，舍。

分类讨论，是一种重要的思想方法。如果所探究的问题有多种不同情境，那么我们常常按照一定的标准，把所探究的问题分成若干类，互不包含，没有遗漏，一类一类解决，然后进行归纳，得到问题的解答。

等腰三角形的分类通常可以按顶点来分类，分别以各点为顶点进行讨论。