20220219 一中八上期末第25题

2022年厦门第一中学八年级上学期期末第25题

• 难　度：★★★

题目

在锐角 △ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC 于点 D．

（1）如图 1，过点 B 作 BG⊥AC 于点 G，求证：AC=BF；

（2）动点 P 从点 D 出发，沿射线 DB 运动，连接 AP，过点 A 作 AQ⊥AP，且满足AP=AQ．

① 如图2，当点 P 在线段 BD 上时，连接 PQ 分别交 AD、AC 于点 M、N．
请问是否存在某一时刻使得 △APM 和 △AQN 成轴对称，若有，求此刻 ∠APD 的大小；若没有，请说明理由．

② 如图3，连接 BQ，交直线 AD 与点 F，当点 P 在线段 BD 上时，试猜想 BP 和 DF 的数量关系并证明；当点 P 在 DB 的延长线上时，若 2AD=7FD，请直接写出 的值．

答案

（1）参见分析．

（2）①存在，此时 ∠APD=60°．② BP=2DF，

分析

（1）证明△BDF≌△ADC，即可得出 AC=BF．

（2）① ∠C=60°，则∠CAD=30°，
若 △APM 和 △AQN 轴对称，则 ∠PAM=∠QAN=30°，可得∠APD=60°；

② 已知 AP=AQ，且 AP⊥AQ，我们通常可以想办法作出全等三角形来。

作 QE⊥AD，交 AD与点 G ,则构造出 △APD≌△QAG，QG=AD=BD，
又可证△BDF≌△QGF，得出 GF=DF，
BP=BD-PD=AD-AG=GF+FD=2DF

当点 P 在 DB 的延长线上时，BP=2DF依然成立，

若 2AD=7FD，即 ，

则 ，

提高

遇到等腰直角三角形时，可以利用两条相等的腰来构造全等三角形。

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