20220321【数学】思考题（最短路径）

学校思考题

• 难　度：★★★

题目

正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC 的中点，F、G 分别是边 AB、CD上的动点，且 FG⊥AE，连接 AG、EF，求 AG+EF 的最小值。

答案

分析

讲讲思路。

① 通过观察，我们发现 DG+FB=1，

作 GH⊥AB 于点 H，则 △ABE≌△GHF，HF=BE=1，
而 DG=AH（矩形），∴ DG+FB=1

② 代数法尝试：

设 FB=x，则 DG=1-x，

则 ，%5E2%7D#card=math&code=AG%3D%5Csqrt%7B2%5E2%2B%281-x%29%5E2%7D&id=HeKrw)

%5E2%7D%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%2B%5Csqrt%7Bx%5E2-2x%2B5%7D#card=math&code=EF%2BAG%3D%5Csqrt%7B1%5E2%2Bx%5E2%7D%2B%5Csqrt%7B2%5E2%2B%281-x%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%2B%5Csqrt%7Bx%5E2-2x%2B5%7D&id=XcFwS)

不好进行下去了，换个思路。

③ 由于 BE=CE，可以在 CD 上作一个点 F’，使得 CF‘=BF，

那么 △BEF≌△CEF’，问题就转化为求四边形 AGF’E 周长最短问题。

④ 问题好像有点像最短路径问题哦，如果把 △BEF 平移过来，不就是我们书上的例题了吗？

延长 BC 至点 E’，使得 BE=CE=CE’=1，在 CD 上作点 F’，使得 BF=CF’，

△BEF≌△CE’F’，这不就是求遇河架桥，路径最短的问题了。GF’ 是河的宽度。

参见八上教材 p86 页例题 2

⑤ 将 △CE’F’ 沿河的垂直方向移动河的宽度（GF’ ），如下图所示：

我们可知，当 A、G、M 在一条直线上时，AG+GM 最短，长度为：

%5E2%2BDL%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B(2%2B1)%5E2%2B1%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B10%7D#card=math&code=%5Csqrt%7B%28AD%2BLM%29%5E2%2BDL%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B%282%2B1%29%5E2%2B1%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B10%7D&id=SFkiv)

⑥ 整理答案，前面的都是思路，写答案时要重构。

过 CD 中点 L，作 LM//AD，并且使得 LM=BE=1，连接GM，

作 GH⊥AB 于点 H，则 △ABE≌△GHF，HF=BE=1，

∴ ADGH 为矩形，DG=AH，GL=BF，

易证 △BEF≌△LMG，AG+EF=AG+GM，

A、G、M 共线时取最小值

提高

学习都是一个积累的过程，所谓的灵感，都是建立在你已掌握的知识之上，才有可能产生的。

基本的题型要吃透，遇到变形的问题才会有联想。

注重平时积累！！

数学模型网址

模型