2022年厦门双十中学八年级上学期期末第16题

  • 难　度：★★

题目

如图，点 A 为等边三角形 BCD 外一点，连接 AB、AD 且 AB=AD，过点 A 作 AE//CD，分别交 BC，BD 于点 E，F，若 3BD=5AE，EF=6，则线段 AE 的长为．
2022021401.png

答案

9

分析

2022021402.png

连接 AC 交 BD 于点 O，则 AC 为 BD 的垂直平分线，

∴ 20220214 双十八上期末第16题 - 图3

而 ∠AFO=60°，∴ 20220214 双十八上期末第16题 - 图4%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DAE-3#card=math&code=OF%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DAF%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%28AE-6%29%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DAE-3&id=tUf7E)，

又 BF=EF，∴ OB=OF+BF=OF+EF

即 20220214 双十八上期末第16题 - 图5

得 AE=9

提高

此题有两个要点：
① 由 AB=AD，BC=DC，可知 AC 为 BD 的中垂线，或者联想到 △ABC与 △ADC 关于直线 AC 对称；
② 由 AE//CD ，可知 ∠AFO=∠BFE=60°，构造出 30°角的直角三角形。