20220419【数学】希望杯全国初中数学邀请赛试题

• 希望杯全国初中数学邀请赛
• 难 度：★★★

题目

如果 %5E5%3Da_0%2Ba_1x%2Ba_2x%5E2%2Ba_3x%5E3%2Ba_4x%5E4%2Ba_5x%5E5#card=math&code=%281-3x%29%5E5%3Da_0%2Ba_1x%2Ba_2x%5E2%2Ba_3x%5E3%2Ba_4x%5E4%2Ba_5x%5E5&id=XLkgn)，
求 的值.

答案

1023

分析

① 当 时，可得 ；

② 由杨辉三角形，我们可知 %5E5%3Da%5E5%2B5a%5E4b%2B10a%5E3b%5E2%2B10a%5E2b%5E3%2B5ab%5E4%2Bb%5E5#card=math&code=%28a%2Bb%29%5E5%3Da%5E5%2B5a%5E4b%2B10a%5E3b%5E2%2B10a%5E2b%5E3%2B5ab%5E4%2Bb%5E5&id=hVBKE)，

【方法一】

将原式展开，可得 %5E5%3D1-5%C3%973x%2B10%C3%973%5E2x%5E2-10%C3%973%5E3x%5E3%2B5%C3%973%5E4x%5E4-3%5E5x%5E5#card=math&code=%281-3x%29%5E5%3D1-5%C3%973x%2B10%C3%973%5E2x%5E2-10%C3%973%5E3x%5E3%2B5%C3%973%5E4x%5E4-3%5E5x%5E5&id=MwmyZ)，

对比可得：，

【方法二】

如果将 -3 改为 3 时，展开式的系数都为正，即：

%5E5%3D%7Ca_0%7C%2B%7Ca_1%7Cx%2B%7Ca_2%7Cx%5E2%2B%7Ca_3%7Cx%5E3%2B%7Ca_4%7Cx%5E4%2B%7Ca_5%7Cx%5E5#card=math&code=%281%2B3x%29%5E5%3D%7Ca_0%7C%2B%7Ca_1%7Cx%2B%7Ca_2%7Cx%5E2%2B%7Ca_3%7Cx%5E3%2B%7Ca_4%7Cx%5E4%2B%7Ca_5%7Cx%5E5&id=RXbqz)，

此时取 ，则 ，

又 ，∴

【方法三】结合方法一、二

根据展开式可知，，

取 时，可得

即

又 ，∴

小结

首先要知道二次项展开的规律；在考虑代入特殊值简化计算。