20220206 槟中八上期末第24题

2022年厦门槟榔中学八年级上学期期末第24题

• 难　度：★★★

题目

已知：如图1，在平面直角坐标系中，点%EF%BC%8CB(b%2C0)%EF%BC%8CC(0%2Cc)#card=math&code=A%28a%2C0%29%EF%BC%8CB%28b%2C0%29%EF%BC%8CC%280%2Cc%29&id=avDXp)，且 %5E2%3D0#card=math&code=%7Ca%2Bb%7C%2B%28c-b%29%5E2%3D0&id=Ck83K)，△ABC 的面积为 16，点 P 从 C 点出发沿 y 轴正方向以 1 个单位/秒的速度向上运动，连接PA，AB．

（1）求出 A、B、C三点的坐标；

（2）如图2，若 PA>AB，以 PA 为边作等边△APQ，使 △APQ 与 △ABP 位于 AP 的同侧，直线 BQ 与 y 轴、直线 PA 交于点 E、F，请找出线段 PE、EQ、OE 之间的数量关系（等量关系），并说明理由．

答案

(1) A(-4,0)，B(4,0)，C(0,4)
(2) PE=2OE+EQ

解析

(1) ，略。

(2) 此题方法较多，核心思想是作一个辅助等边三角形，与原等边三角形的边可以构成全等三角形，从而把分离的边转换到一起来求解。

学校及网上的答案，均需要先求出 ∠BEO=60°。
方法一构建等边三角形时，构造了30°角，显得更简洁一些。

【方法一】如图，作等边△ABD，则∠ADO=∠BDO=30°，∠ADP=150°，
易证 △ADP≌△ABQ，∠ABQ=∠ADP=150°，∠OBE=30°，∠DBE=90°，
PE=PD+DE=BQ+2BE=EQ+BE=EQ+2OE

以下方法关键点是要先求得∠BEO=∠AEO=60°（略）

【方法二】
如图，作等边△AEG，△APE≌△AQG，
PE=QG=QE+EG=QE+AE=EQ+2OE

【方法三】
如图，作等边△AEG，△APG≌△AQE，
PG=QE，GO=2OE，
PE=EQ+2OE

【方法四】
如图，作等边△EQG，GE=QE，
连接AE，△AEQ≌△PGQ，PG=AE=2OE
PE=PG+GE=2OE+QE

【方法五】
如图，作等边△PEG，连接PB，
PE=GE=GQ+QE
△PQG≌△PBE，GQ=BE=2OE
PE=EQ+2OE

提高

从本题中，我们又可以提炼出一个数学模型，与昨天的模型相似，可以对照学习。

模型一

等边 △ABC 与 △ADE 关于直线 对称，BE、DC 的延长线相交于点 F，
求：∠AFB、∠AFD 的度数.

【提示】∠AEB=∠1+60°，∴∠DEF=60°-∠1
∴ ∠EFC=120°，∴∠AFB=∠AFD=60°

模型二（模型一的变形）

等边三角形AED的顶点 E 与点 C 关于直线 对称，DC的延长线交直线 于点 F，交 AE 的延长线于点 G，则 ∠AFE=∠AFC=∠EFG=60°

数学模型网址

可以拖动红点，观察效果。