构造全等三角形 - 20220218 一中八上期末第24题 - 《天爸试题研究》

2022年厦门第一中学八年级上学期期末第24题

如图，在等边△ABC中，D、E分别是边 AC、BC上的点，且CD=CE，∠DBC<30°，点 C 与点 F 关于 BD 对称，连接 AF、FE，FE 交 BD 于 G．

（1）连接 DE、DF，则 DE、 DF 之间的数量关系是 $20220218 一中八上期末第24题 - 图2$ ，并证明；

（2）若 ∠DFE=∠GBE，用等式表示出段 BG、GF、FA 三者之间的数量关系，并证明．

（1）DE=DF；（2）BG=GF+FA

（1）证明 △DCE 是等边三角形即可；

（2）先来分析一下，没用到的已知条件告诉我们了什么：

① 点 C、F 关于 BD 对称：连接 BF，则 △BDC≌△BDF，AB=BC=BF；
② 设 ∠DFE=∠GBE=∠1：如图，∠FGD=∠BGE=∠DEC=60°（∠GEC=∠BGE+∠1）
③ CD=CE：AD=BE

于是，猜想延长 BD、AF 交于点 H，可以构建等边三角形与全等三角形，

如图，如果 △GFH 是等边三角形，则 GF=FH；
如果 △BEG≌△ADH，则BG=AH=AF+GF.

∵ AB=BF，∴ ∠BFA=∠BAF=60°+∠1，∴ ∠BHF=60°，
又 ∠FGH=60°，∴ △GFH 是等边三角形，GF=FH；

根据 AAS，△BEG≌△ADH，∴ BG=AF+GF.

此题的难点，一是要能够读懂题，明白已知条件告诉了我们什么；
二是要构建等边三角形以及全等三角形，
才能将三条线段的关系联系到一起。