20220224 泉州五中八上期末第24题

2022年泉州第五中学八年级上学期期末第24题

• 难　度：★★★

题目

定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的 3 倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．

(1)若一个三角形的三边长分别是 ， 和 2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；

(2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为 a，b，斜边为 c，求 a:b:c 的值；

(3)如图，△ABC 中，BC＝2，CD 为 △ABC 的中线，且 ．若 △ACD 是平方倍三角形，求 △ABC 的面积．

答案

(1) 这个三角形是“平方倍三角形”；

(2)

(3) 或 2

分析

(1) %5E2%2B2%5E2%3D3%C3%97(%5Csqrt%205)%5E2#card=math&code=%28%5Csqrt%20%7B11%7D%29%5E2%2B2%5E2%3D3%C3%97%28%5Csqrt%205%29%5E2&id=wt7uQ)

∴ 这个三角形是“平方倍三角形”．

(2) 由勾股定理可知：

由平方倍三角形定义可知： 或

两式相加，均可得出 ，即

则

(3) 老办法，先分析已知条件：
① CD 为 △ABC 的中线，且
　AD=BD=CD　 　∠A=∠ACD，∠B=∠BCD　 　∠ACB=90°

设 AD=BD=CD=x，BC=a，AC=b，

则 %5E2#card=math&code=a%5E2%2Bb%5E2%3D%282x%29%5E2&id=vwM8j)，其中 a=2

② △ACD 是平方倍三角形：

或

分两种情况讨论，可得 或

∴ △ABC 的面积为 或 2.

提高

本题要点：
① 新定义，要学会按照定义的要求来进行分类，

，以谁分类进行讨论呢？显然以 分类比较合适，多体会对比。

② 判断 △ABC 为直角三角形，

看到三角形一边的中线等于该边的一半，就应该立刻想到这是直角三角形，自己证明后记住；

③ 进行讨论，根据情况分类讨论，这是必须具备的数学能力。此题情况较为简单，不要漏掉。