20220308【数学】兰州市2021年中考第27题

甘肃省兰州市2021年中考数学第27题

• 难　度：★★★

题目

已知正方形 ABCD，E，F 为平面内两点．

【探究建模】

（1）如图1，当点 E 在边 AB 上时，DE⊥DF，且 B，C，F 三点共线．
求证：AE=CF；

【类比应用】

（2）如图2，当点 E 在正方形 ABCD 外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且 E，C，F 三点共线．猜想并证明线段 AE，CE，DE 之间的数量关系；

【拓展迁移】

（3）如图3，当点 E 在正方形 ABCD 外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且 D，F，E 三点共线，DE 与 AB 交于 G 点．若 DF=3， ，求 CE 的长．

答案

（1）见分析；（2）；（3）

分析

（1）AD=CD，∠ADE=∠CDF，∠DAE=∠DCF，

∴ △ADE≌△CDF，AE=CF

（2）AD=CD，∠ADE=∠CDF，∠AED=∠CFD，

∴ △ADE≌△CDF（ASA），DE=DF，△DEF 是等腰直角三角形，

；

（3）如图，仿照②小题，作 DH⊥DE，交 EC 延长线于点 H，

则 △ADE≌△CDH， ，且 △DEH 是等腰直角三角形，

AD=AB，∠DAF=∠BAE，∠ADF=∠ABE（8 字模型），

∴ △ADF≌△ABE（ASA），AF=AE，△AEF 是等腰直角三角形，

∴ EF=2，DE=5，

小结

① 仔细观察前面的小题，利用已经得出的结论，减小解题难度；
② 正方形的边相等，往往是全等三角形其中一组对应边；
③ 遇到很多直角时，找相等的角，经常可以利用两角之和为 90° 的特点，
例如：3小题中，∠DAF+∠FAG=90°，∠BAE+∠FAG=90°，则 ∠DAF=∠BAE

数学模型网址