2022年厦门松柏中学八年级上学期期末第25题

  • 难　度：★★★

题目

如图所示，已知 B(-2,0)，C(2,0)，A 为 y 轴正半轴上的一点，点 D 为第二象限一动点，点 E 在 BD 的延长线上，CD 交 AB 于点 F，且 ∠BDC＝∠BAC．
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（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：AD 平分 ∠CDE；
（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．

答案

（1）见分析
（2）见分析
（3）∠BAC=60°

分析

(1)由8字型模型，很容易证明，略。

(2)过点 A 作AM⊥CD 于点M，作AN⊥BE于点N．
运用 “AAS” ，可证明 △ACM≌△ABN，得 AM=AN．
根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
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(3)运用截长法在 CD上截取 CP=BD，连接 AP．
证明 △ACP≌△ABD 得 △ADP 为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
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提高

通过本题，我们可以总结出一类构造全等三角形的方法。

已知：AB=CD，∠A=∠C，构造全等三角形

方法一（AAS）：过点 B、D 作 ∠A、∠C 另一边的垂线，垂足分别为 E、F，
则 △ABE≌△CDF.
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方法二（SAS）：在 ∠A、∠C 的另一边上截取相等的线段AE、CF，
则 △ABE≌△CDF.
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方法三（ASA）：同上图，作 ∠B=∠D，则 △ABE≌△CDF.

不断积累，掌握此方法后，此题并不难。

数学模型网址

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