学校思考题
- 难 度：★★★
题目
如图，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，∠AOC=60°，∠ACD+∠ABD=210°，求线段 AB，AC，BD之间的数量关系式。
答案
分析
① 首先，分析已知条件。
∠AOC=60°，∠ACD+∠ABD=210°，隐含了一个重要信息：
可得 ∠AOD=120°，∠CAO+∠BDO=30°，
延长 AC，DB，交于点 E，则 ∠AED=∠AOD-∠A-∠D=90°，即 AC⊥DB.（飞镖模型）
② 还有已知条件 AB=CD 没有用，∠AOC=60° 使用得也不充分。
以 AB 为一边，向下作等边 △ABF，连接 DF，则 AF=CD，
而 ∠AOC=∠BAF=60° ，∴ AF//CD，
∴ 四边形 ACDF 是平行四边形，AC=FD 且 AC//FD，
∴ FD⊥DB，△BFD 是直角三角形，
∴
提高
【飞镖模型】
前图中，∠D=∠A+∠B+∠C，原理参见后图。
【猜想】
当作题没思路时，不妨先找一个特例，如下图：
△AED 是等腰直角三角形，∠BAE=∠CDE=15°，
设 BE=CE=1，则 ，
，
我们发现 ，
于是可以猜测 ，可以通过平移边后，构建直角三角形来证明。
过点 D ，作 DF//CA，并且 DF=CA，连接 BF，只要证明 BF=AB 即可，
而 ACDF 是平行四边形，则 △ABF 为等边三角形。
解题思路基本上就出来了。
【15°角直角三角形的快速推导】
如图，Rt△ABC，∠B=15°，∠C=90°，在三角形内部作 ∠BAD=15°，AD 交 BC 于点 D，
设 AC=1，则 BD=AD=2，，
∴ ，
%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B8%2B4%5Csqrt3%7D%3D%5Csqrt%7B6%2B4%5Csqrt3%2B2%7D%3D%5Csqrt6%2B%5Csqrt2#card=math&code=AB%3D%5Csqrt%7B1%5E2%2B%282%2B%5Csqrt3%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B8%2B4%5Csqrt3%7D%3D%5Csqrt%7B6%2B4%5Csqrt3%2B2%7D%3D%5Csqrt6%2B%5Csqrt2&id=LEcPj)
参考
若有收获，就点个赞吧
0 人点赞
