20220303【数学】2021年厦门二检第16题

2021年厦门市初中毕业班教学质量检测第16题

• 难　度：★★

题目

用《九章算术》中记载的“更相减损术”求 168 和 72 的最大公约数，运算步骤如下：
第一步：；
第二步：；
第三步：；
第四步：.

如果继续操作， 可得 ， 因此， 经过上述四步运算， 求得的结果 24 是 168 和 72 的最大公约数.

若两个正整数经过 “更相减损术”的三步运算， 所求得的最大公约数为 ，且这两个数中的一个大于另一个的 2 倍，则这两个正整数分别为. (用含 的代数式表示)

答案

或

分析

设较大的数为 x，较小的数为 y，则 x > 2y，

第一步：x-y=x-y，此时剩 x-y，y；

第二步：(x-y)-y=x-2y，此时剩 x-2y，y；

第三步：① 当 x-2y>y 时，(x-2y)-y=a，此时 y=a，可得 x=4a，y=a；

②当 x-2y<y 时，y-(x-2y)=a，此时 x-2y=a，解得 x=5a，y=2a；

提高

此题培养代数思维，学习用字符去代表数字，进行推演。

注意要分情况进行讨论。