20220226 厦外八上期末第25题

2022年厦门外国语中学八年级上学期期末第25题

• 难　度：★★★

题目

如图，等边 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，经过点 D 的直线 与边 AC 相交于点 E （点 D 和点 E 都不在 △ABC 的顶点上），点 P 在直线 上．

（1）若 △ABC 与 △APC 关于直线 AC 对称，PQ⊥直线 AB 于点 Q ，请判断线段 AQ 与 BQ 的数量关系，并说明理由；

（2）若 △ABP 与 △ACP 关于某直线对称，

① 若 AE=PE=PD，BP=4，求点 P 到边 AB 的距离；

② 若 CD=2BD，PD=2，PC⊥ ，求此时线段 PE 的长度．

答案

（1） BQ =3AQ ；（2）①2；②2

分析

（1）在Rt△APQ中，∠QAP=60°，

∴ AQ=AP=AB

∴ BQ=3AQ

（2） ① 若 △ABP 与 △ACP 关于某直线对称，则 A ， P 在对称轴上，

∴ A，P 一定在线段 BC 的垂直平分线上，设 AP 与 BC 的交点为 F ，如图，

可推得 ∠APE = ∠PAE = ∠DPF = 30°，

∴ ∠PEC = ∠PDC = 60°，△ EDC 是等边三角形，

∵ PD = PE ，∴ PC 是 ∠DCE 的平分线，

∵ ∠PCA = ∠PAC = 30°，∴ PA = PC ，

∴ △ABP≌△CBP，∠PBC=30°，PF = BP = 2，

∴ 点 P 到 AB 的距离等于 P 到 BC 的距离，

∴ 点 P 到边 AB 的距离为2；

② 若 △ABP 与 △ACP 关于某直线对称，则 A，P 在对称轴上，

即直线 AP 为对称轴，并且垂直平分 BC，

作点 D 关于 AC 的对称点 G，如图，

则 PD=PG，且 CG=BD=DG，

PG 为 Rt△DPG 的中线，PG=DG，

∴ △PDG 为等边三角形，∠PCD=30°=∠PCE，

PE=PD=2

提高

① 关于直角三角形：

斜边上的中线等于斜边的一半；
30°角所对的边等于斜边的一半；

② △ABC 的三条中线相交于一点 O，并且点 O 是各中线的一个三分点。

证明方法有不少，这里介绍使用面积的证明方法。

已知：如图，△ABC 的中线 AD、BE 交于点 O，连接 CO 并延长，交 AB 于点 F；

求证：① CF 是 △ABC 的中线；② 点 O 是各中线的一个三分点；

【解析】设 △ABC 的面积为 S ；

∵ AE=CE，∴ ，，∴ ，

同理，由 BD=CD，可得 ，

∴ ，

① 如下图，过 A，B 作 CF 的垂线 AG、BH，

由 可得 AG=BH，∴

∴ AF=BF，CF 是 △ABC 的中线；

② 由 BD=CD，，

可得

∴

即 O 是 AD 的一个三分点，

同理，点 O 也是 BE、CF 的一个三分点。

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