题目

类型：动态规划

难度：中等

最小路径和 - 图1

解题思路

1、网格的第一行的每个元素只能从左上角元素开始向右移动到达

2、网格的第一列的每个元素只能从左上角元素开始向下移动到达

综上，此时的路径是唯一的，因此每个元素对应的最小路径和即为对应的路径上的数字总和。

3、对于不在第一行和第一列的元素，元素对应的最小路径和=（ 上方相邻元素 与 左方相邻元素 两者对应的最小路径和中的最小值）+ 当前元素的值。由于每个元素对应的最小路径和与其相邻元素对应的最小路径和有关，因此可以使用动态规划求解。

代码：

grid[i][j]为输入的原始数组存放值

初始化二维数组 dp，与原始网格的大小相同，dp[i][j]表示从左上角出发到 (i,j)位置的最小路径和。

dp[0][0]=grid[0][0]。对于 dp[i][j]中的其余元素，通过状态转移方程计算元素值。

当 i>0 且 j=0 时，dp[i][0] = dp[i-1][0]+grid[i][0]

当 i=0 且 j>0 时，dp[0][j] = dp[0][j-1]+grid[0][j]

当 i>0 且 j>0 时，dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j])

最后得到dp[m-1][n-1]的值即为从网格左上角到网格右下角的最小路径和。

代码

  1. class Solution {
  2.     public int minPathSum(int[][] grid) {
  3.         if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
  4.             return 0;
  5.         }
  6.         int rows = grid.length, columns = grid[0].length;
  7.         int[][] dp = new int[rows][columns];
  8.         dp[0][0] = grid[0][0];
  9.         for (int i = 1; i < rows; i++) {
  10.             dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
  11.         }
  12.         for (int j = 1; j < columns; j++) {
  13.             dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
  14.         }
  15.         for (int i = 1; i < rows; i++) {
  16.             for (int j = 1; j < columns; j++) {
  17.                 dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
  18.             }
  19.         }
  20.         return dp[rows - 1][columns - 1];
  21.     }
  22. }