题目

类型：动态规划

难度：中等

解题思路

方法一：动态规划

1、用 f(i,j) 表示从左上角走到 (i,j) 的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 [0,m) 和 [0,n)。

2、由于每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i,j)，如果向下走一步，那么会从(i−1,j)走过来；如果向右走一步，那么会从 (i,j−1) 走过来。

因此得出动态规划转移方程：f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

3、需要注意的是，如果i=0，那么 f(i−1,j)并不是一个满足要求的状态，需要忽略这一项；同理，如果j=0，需要忽略这一项。

4、初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法。最终的答案即为f(m−1,n−1)

细节：将所有的 f(0,j) 以及 f(i,0) 都设置为边界条件，它们的值均为 1。

方法二：组合数学

代码

方法一

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] f = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            f[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            f[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}

方法二

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
            ans = ans * x / y;
        }
        return (int) ans;
    }
}