误差传播率

在测量数据处理中，观测值有两类，即直接观测值和间接观测值，后者是由一些直接观测值构成的函数计算出来的。

由于函数变量含有误差，受其影响，函数也含有误差，这种过程称为误差传播。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。

误差传播率包括协方差传播率、协因数传播率以及它们的简化形式方差传播率、权倒数传播率。误差传播定律还包括线性函数的误差传播定律、非线性函数的误差传播定律。非线性函数应对函数进行全微分转换到线性函数来研究误差传播。

  • 协方差传播率

协方差是两种真误差所有可能取值乘积（σiσj）的理论平均值，用来表示误差之间的关系。

方差是协方差的一种特殊情况，当两个变量相同，协方差为一种真误差自身的平方（σiσi）。

由已知观测协方差求其函数的方差的计算方法统称为协方差传播律。

  1. 设有如下线性函数
  2. Z=k1X1+k2X2+…+knXn+k0
  4. 则函数Z的方差σz2可表示为
  5. σz2=k12σ12+k22σ22+…+kn2σn2+2k1k2σ12+2k1k3σ13+…+2kn-1knσ（n-1），n
  7. 式中 
  8.     k1到kn——多项式系数；
  9.     k0——常数项；
  10.     σz2*σ12到σn2——方差；
  11.     σ12到σ（n-1），n——协方差。
  • 方差传播率

协方差表示误差之间的关系，若误差之间互相不影响，上式中Ｘ1到Xn互为独立观测值，则协方差项2k1k2σ12+2k1k3σ13+…+2kn-1knσn-1，n＝０，协方差传播率公式就变成下面独立观测值误差之间的关系，称为方差传播率。

  1. σz2=k12σ12+k22 σ22+…+kn2σn2

方差传播率公式运用中要注意以下三点。

  • 函数常数项不用求方差，
  • 函数中若为减法，视作系数为负数，平方后符号不影响结果。
  • 前提条件是各观测量之间必须独立，否则应用协方差传播率求解。

例如

  1. 设有一段距离，采用钢尺测量其长度，所用钢尺名义长度为20米，标称中误差为1厘米，测量了两个尺段后得到读数为40米，则该距离测量中误差为多少（取至毫米）？
  3. 解：
  4. （1）列出函数式
  5. D=d1+d2，其中d1、d2为两个尺段测量距离。
  7. （2）列出方差传播方程
  8. σD2=σd12+σd22
  10. 由于d1和d2等精度，上式可写作
  11. σD2=σd12+σd22=2σd12=2×0.012=0.0002
  12. σD=±√0.0002=±0.014米    
  13. 可见两个尺段测量降低了测量精度。