Ch6 极限定理

作为概率论部分的尾声,这章讨论了大数律和中心极限定理

• 大数律解释了为什么在n次独立重复试验中,当n充分大时,事件A发生的频率f(A)充分接近于A发生的概率P(A)
• 中心极限定理说明了独立同分布的随机变量之和近似地服从正态分布

  1. 大数律

  1.1 切比雪夫不等式

  D(X)既然刻画了X取值在E(X)周围的集中程度,那么对任意ε>0,事件的概率一定和D(X)有关,且D(X)越小,这个概率一定越大,由此引出切比雪夫不等式
  

  1.2 大数律

  首先说明几个概念
  (1)随机变量序列
  
  (2)随机变量序列的”收敛性”
  :::info “收敛性”的直观意义就是n充分大时虽然不能保证绝对成立,但时可以使得其概率无限接近1,即Xn取值以极大的概率充分接近a :::
  切比雪夫大数律
  
  :::info 切比雪夫大数律证明中使用了上面”收敛性”的充分条件,证明了 ::: 推论1:独立同分布大数律
  
  :::info
  大数律即说明n充分大时在概率意义下的取值充分接近于,这也是为什么实际问题中常用多次测量取平均作为期望 ::: 推论2:伯努利大数律
  

:::info :::

2. 中心极限定理

在正态分布数字特征与线性性质中得到相互独立的正态分布随机变量之和仍服从正态分布,那非正态分布随机变量呢?
中心极限定理即说明相互独立的非正态分布随机变量之和仍服从正态分布

2.1 独立同分布中心极限定理

:::info 上述定理的应用形式
:::

2.2 二项分布的中心极限定理

:::info

• 定理的证明运用了”二项分布可加性”

• 关于“二项分布可加性”

• 上述定理的应用形式

  ::: 推论