Ch3 二维随机变量及其分布

1. 二维随机变量及其分布函数

二维随机变量分布函数F(x)

1.1 离散型

类似一维时,概率分布即为随机变量(X,Y)取特定值时的概率;二维分布函数可通过概率分布求和得到
联合概率分布/联合质量函数

联合分布函数

常见二维离散型分布

	三项分布
表示
联合概率分布
联合分布函数
实际应用	n重独立试验中,每次试验有三个结果,令X和Y表示n次试验中发生的次数则,X和Y有联合概率分布

1.2 连续型

二维概率密度函数/联合密度函数

二维分布函数

:::info 如何理解二维分布函数:首先既然是二重积分,就大致是曲顶柱体体积,根据宋浩老师的说法,大致是一个”草帽”,F(x)就是草帽给定区间的体积

而联合密度函数f(x,y)就是上面这层曲顶对应的函数 ::: 常见二维连续型分布**

2. 边缘分布及随机变量的独立性

二维变量(X,Y)中某一维分布函数相对于二维分布函数被称为边缘分布函数
边缘分布函数

独立性

2.1 离散型

边缘概率分布/边缘质量函数
二维离散型随机变量边缘分布可通过联合概率分布求出
:::info 参考例题1: 二维离散,可以简要叙述边缘概率分布的意义:

• pi.:当考虑Y取得所有可能结果时,X分别等于xi时的概率

• p.j:当考虑X取得所有可能结果时,y分别等于yj时的概率 ::: 独立性
  

  2.2 连续型

  边缘密度函数
  
  :::info 如何理解边缘密度函数:一重积分就是面积**:

• 对边缘密度函数来说就是给定某个x,此时曲顶对应一条曲线,把曲线投影到YOZ平面后的面积,因此对R上的y积分

• 对边缘密度函数来说就是给定某个y,此时曲顶对应一条曲线,把曲线投影到XOZ平面后的面积,因此对R上的x积分

::: 独立性

3. 条件分布和条件密度

条件分布函数(通用)

3.1 离散型

条件分布

条件分布函数

3.2 连续型

条件密度函数

条件分布函数
**

:::danger 上述结论的证明有点技巧,首先,对于连续随机变量,某点的概率取值为0,因此分母直接为0,有点反直觉,其证明如下(不清楚可看宋老师视频24min处):

此时使用积分中值定理,在区间[y,y+ε]中可找到ξ使得
则分母变成常数,分子同样使用中值定理得到
综上 :::

:::info 在做题中,通常有两种问法

1. 问

此时为条件分布知识,使用

1. 问

此时并非条件分布:
分子为一般二维分布函数
分母为边缘分布函数 :::

4. 二维随机变量函数的分布

4.1 离散型

4.2 连续型

求的一般方法:

**